수학중독 켤레 복소수의 성질 & i 의 순환성 > 중학교수학

 

이번 시간에는 복소수 의 성질에 대해서 얘기를 해보도록 하겠습니다
우리 이 복소수 의 성질을 공부해 카 기 위해서
의미에 두 복소수 의 한번 정리를 해보죠 그래서 이미 의도 폭소 소
쥐는 a+b 아이가 있구요 그 다음에 떠 w 는 c 플러스 ti 가 있다
라고 한번 생각해 봅시다 자 첫 번째는 뭐냐면 바 지혜의 나가 w 를
더한 것에 켤레 복소수 는
지혜의 켤레 복소수 와 의 켤레 복수 수를 더한 것과 같다는 겁니다
이건 우리가 쉽게 증명을 할 수가 있는데 이 둘을 더하면 요 한번에
갑시다 아
a+ 씨와 b 플라스틱이 의 아이가 되는 거죠
요기 이제 두 개를 더 한건데
이놈의 켤레 복소수 는 뭐가 되냐 하면 당연히 a+ 쓰이
그담 - 피플 sti 가 되겠죠
그런데 요지 바라는 것은 결국 뭐냐면 a - pi 고요 그 다음에 w
반은 c - t 아이니까 이 두개를 더 한거 역시 a 프라스 에 - 로
묶어 주면 beer sdi 가 되는 것을 볼 수가 있습니다
됐죠 예 그래서 요정도 여러분들이 충분히 알 수 있는거구요
그럼 뺄셈 더 어떻게 되겠어 또 끝을 거 아냐
그지 이것도 여러분들이 한번 해 보세요 g - w 전체의 켤레 복소수 는
지혜 켤레 복소수 와 의 켤레 복소수 를 뺀 것과 똑같다 라는
겁니다
역시 위의 선생님이 한 것처럼 화면은 충분히 보일 수 있을 겁니다
자 그 다음 우리가 같이 해봐야 될것 뭐냐면 세번째 이 거에요 바로
g 와 w 를 곱한 것의 켤레 복소수 가 각각의 켤레 복소수 를 곱한
거와 같다 라는 건데
자 지 하고 w 를 고 판단한 것은 결국 a+b 아이의 다가 c 플러스
ti 를 곱하는 거구요
이 결과는 ac 한번에 갑시다 그 다음에 - bd 에 플라스 그 다음에
ad 프라스 bc 의 아이가 된거죠
따라서 이것 전체의 켤레 복소수 라는 것은
호수 부의 분만 바꾼 요놈이 됩니다
자 그러면 이 놈이 혹시 a - b i 측 지혜 켤레 복소수 와 c -
d 아인 즉 w 켤레 복소수 를 곱한 거란 같냐 라고 물어본다면 한번에
갑니다
ac 그대로 나오고요 그다음 바 요 ii 붙은 놈들 끼리 곱해 줘야
아이가 날라 갈 거 아냐
그러면 bga 에 아이 제곱 인데 아이 제곱이 - 일이니까 이렇게 됩니다
그 다음은 요렇게 곱하면 - adi 요렇게 곱하면 - pci 니까 - 로
묶어 주면 ad 플러스 비스 에 아이가 되는걸 볼 수가 있네요
그래서 이 두 놈이 서로 같아지는 걸 알 수가 있습니다
그럼 지금 서서히 뭐했는지 모르겠는 사람들은 하나씩 전개하면서 해보시면
됩니다
오케이 그래서 어쨌든 요거 두 개가 서로 같다 라는 걸 꼭 기억하셔야
되요 그럼 네번째 혹시 나눗셈 더 그런가
그 정 예를 들어 w9 내지 전체의 켤레 복소수 가
w 의 바 지파 요거랑 똑같을까 라는 거죠
근데 이건 역시 우리가 해 보면 서로 똑같은 걸 알 수가 있어요
자 우리 c 플러스 ti 분해 2
그 다음에 a+ pi 라는 놈이 어떻게 되는지 지난 시간에 해 봤었습니다
그래서 우리가 지난 시간에 했던 결과를 그대로 이용을 하게 되면 요렇게
되구요
그 다음에 플라스 c 제곱 마이아 플라스 d 제곱 분의 뭐가 됩니까
요놈은 bc - ad 에 아이 이렇게 된거죠
따라서 이것 전체의 켤레 복소수 는 이거 전체의 결 없었습니다 그저 허수
보에 분만 바꿔 주는 거니까
요렇게 되겠네요 맞죠 그러면 요 놈 이랑 예랑 똑같은지 만 보면 되니까
우리가 스 2 - di 불행의 a - b 아이를 요거 한번 계산해 봅시다
그러면 이거냐 한번에 가자
어차피 우리는 부모의 실수 알을 위해서 c 플러스 ti 를 분자 분모 에
곱해 주게 되고요
그처럼 그렇게 되면 당연히 분모는 그냥 c 제곱 플러스 2 제곱이 됩니다
그 다음에 분자는 ace
그다음 팔이폰 등도 것들끼리 곱해주면 - bdi 제 곰인데 아예
제곱이 - 일이므로 플라스 bd 가 되는걸 볼 수가 있구요
그다음 이렇게 곱하면 - pci
그럼 요렇게 곱하면 플라스 adi 이렇게 된거 기 때문에 결과적으로
얘네들을 몰 묶어주면 2 - 로 묶어 짐 어떻게 되요
c 제고 플라스 d 제곱 좀 올려야 그저 예 분해에 뭐가 돼
ac 프라 스피디 는 똑같구요 - 로 묶어 주면 쓰이 제거 플라스크
이제것 분의 뭐가 된다
mbc - ad 에 아이가 돼서
두놈이 서로 똑같아 지는 것을 확인할 수가 있습니다
자 결과적으로 우리가 얻을 수 있는 건 뭐냐면
어 바르 거야 사치 연산을 한 후에 켤레 복소수 를 보는 것은 즉
지프 라스 w 다음에 켤레 복소수 를 보나 g - w 다음에 켤레 복소수
를 보나 g 와 w 를 곱한 다음에 켤레 복소수 를 보나 지 나누기 w
를 나눠 준 다음에 그저 예
요거 전체의 켤레 복소수 를 보는 것은 마치 켤레 복소수 들을 가지고
덧셈을 하는거 그저 에
똑같다 이 거야 또는 털레털레 옥소 수들을 가지고 뺄셈을 하는 것
그다음 켤레 복소수 들을 서로 곱하는 것
그다음 켤레 복소수 들을 서로 나 근거 랑 똑같다는 것을 아셔야 됩니다
그저 따라서 우리가 사칙연산 후에 켤레 복소수 는 켤레 복소수 들의
사칙연산 이다
이렇게 알고 계시면 된다 라는 겁니다 됐죠
예 중요한 내용입니다 요건 4가지가
정말 그렇게 될까 라고 헷갈리는 학생들이 있는데 요건 네 가지가 다
성립된다는 걸 반드시 기억하고 계셔야 되요
오케 그 다음에 우리가 또 복소수 의 성질 중에
기억해야 할 만한 게 뭐냐면 뭐 예를 들면 이런 거죠
다섯번째 라 그럴까요 그정 g 와치 바하가 똑같다는 건 도대체 모르면
뭐냐 할까요
그러면 a+b 아이와 a - b 아이가 똑같다는 거 잖아
그러면 봐라 이거이거 날라가고 결국 남는건 ebi 가 있고 0 인데
우변 은 실수 고 좌변 허수 해요
그러면 얘네 둘이 똑같아 지기 위해서는 결국 b 니까
즉 허수 부비 가 0이 되는 수밖에 없다는 거지
얘는 뭐가 된 거냐면 이 비가 영 이란 뜻이구요
그 얘긴 뭐냐면 원래 이지 라는 놈이 apr spi 얻는데 비가 영 이란
얘기는 아이 치는 실수 여 꾸다 라는 것을 의미하게 될 겁니다
따라서 켤레 m g 와 그 켤레 복수 수 인지 바가 서로 같다는 것은
원래 복소수 지가 쉴수 였구나 라는 것을 의미한다.
이걸 보시면 되겠구요 그 다음에 6번째 뭐 이런 것도 생각해 볼 수가
있겠죠
g 와치 발을 더하면 어 뭐가 돼 애가 영이 됐다 라는 뜻은 어떤 뜻이
내가 그럼 와 a 플러스 pi 에다가 a - pi 를 더한 거잖아
그럼 얘는 2인데 애가 영이 됐다는 얘기는 결국 아 a 가뇽 이었구나
나는 얘기가 되구요 그쵸 의사 게이 가 0 이 었구나 라는 얘기가 되고
얘기는 결국 뭐냐면 복소 수치가 순 허수 였구나
이것을 의미한다. 라는 겁니다 물론 애가 순 허 수 없다라는 결론을 내리기
위해서는 우리가 비는 용니었다 라는 조건이 붙어야 만 됩니다
그래서 이런 것들도 생각할 수 있어야 되겠구요
그저 그 다음 뭐 마지막으로 우리가 이미 대응 거지만 g 와 g 발을
곱하면 이 결과는 항상 실수가 된다는것
우리가 분모의 실수해서 써먹었던 성질이 입니다
요정도 여러분들이 기억하고 계시면 복소수 의 연상 이나 복소수 를
이용하는 문제에 있어서 걸림돌이 될 것은 없다고 생각합니다
됐죠 자 마지막으로 여러분들이 하나 더 알고 있어야 되는게 바로 아이의
순환성 이에요
혹은 아이의 주기성 이라고 얘기를 하기도 합니다
이게 뭐냐면요 예를 들면 파 아니라는 놈은 아이의 제곱이 - 일이 되는
거잖아요 그러면 아이의 세제곱 은 - 일에 아이가 곱해 지는 거니까 -
아이가 되고요
아이의 내 제곱은 - 아이의 또다시 아이가 곱해 줘서 - i 제곱이
되는거니까
결국은 플러스 일이 되는 것을 볼 수가 있습니다
그러면 아이의 5 제곱은 다시 얼마나 되겠어
예 아이의 내 제곱의 i 를 곱하는 거니까 아이가 되고 아이의 여섯째
곱은 아이의 다가 i 를 곱하는 거니까
결국은 - 아예 7 제곱은 - i
아예 8 대부분 다시 이렇게 되는 거죠
결국 아이의 거듭제곱 이라는 것은 우리가 아이 체고 i 3 제고
아예 내 제곱 요놈이 기본이에요 그래서 여러분 i - 1 - i
1 요렇게 4개가 한 주기가 되서
아이의 오승은 다시 아이 6승 은 - 1
7승 1 - i8 쓰는 일
다시 9승 은 i10 쓰는 - 1
11승 은 마이너 싸이 12승 은 다시 1
이런식으로 계속 수만 한다.라는 것을 얘기하는 거죠 그래서 이의 순환
성이라는 것은 결국 요 4개가 한 주기가 되어서 계속 순환하면서 등장을
하게 된 나 나는걸 얘기하게 되는 겁니다
그래서 우리가 이 주기성 즉 순환성 을 이용해서 모아이 프라스 아이의
제곱 플러스 아이의 세제 플러스 아이에 대해 제복은 얼마일까요 이런걸
물어보면 뭐 여기서 당연히 애는 i - 1 - 아이 플러스 일이니까 0
되는걸 볼 수가 있구요
이걸 이용해서 우리가 그러면 아이플러스 아이의 제 곱해서 아이의 100승
까지 더하면 얼마일까요 라고 물어본다면
당연히 요 4개가 한 세트 1 죽이라고 봤을 때 200개 안에는 숨을
5개 의한 세트가 등장하는 것 하나 편곡의 해도 영웅들이 보시오
근데 4개 씩 끊어서 0 되는거니까 이해가 됩니까
그러면 i've lsi 제 곱해서 아이의 50승 까지도 한다. 라는 얘기는
뭐가 되냐 하면
아이플러스 아 이제 곱해서 아이의 48 승 까지 에다가 아이의 49 승
아이의 50승 요렇게 더 하는건데
요기까지가 뭐가 되냐 며 녕 되는걸 볼 수 있다라고 거야 왜 2 4로
나누어 떨어지지 않아요 48 까지가 즉 요한 세트가 어
무료 열 두 번 등장하는 걸 우리가 볼 수가 있는 거지 근데 1 세트
합의 0이니까 12번 등장해 바짝 용 이구요
아예 49 슨 그냥 아이랑 똑같을 거구요
아예 50승 은 - 1과 똑같을 거 기 때문에 왜 코 다운 놈이고
다운 놈이 - 일이니까
따라서 우리는 얘는 i - 1 이라는 것을 금방 알아낼 수가 있는 겁니다
여러분들이의 순환성 을 알고 있다면 이런 아이의 거듭제곱 뜰에 대한
계산도 쉽게 할 수 있다는 것까지 알고 계시면 큰 도움이 될 겁니다