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수학중독 | 이차방정식

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수학중독님의 중학교수학강의 청각장애인을 위한 자막
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자 이차방정식 풀이 앞서서 먼저 이 방정식에 대한 내용을 잠깐 짚고
넘어가도록 하겠습니다
우리가 이미 항 등식 단원에서 방정식의 대해서 언급을 했었죠
예를 들어 한 등식은 항상 성립하는 등 식이다
x 값에 관계없이 그저 그렇지만 방정식은 2x 에 따라서 성립할 수도
있고 성립 안 할 수도 있는 등 시계 있을 때 그 놈을 우리가 방정식
이라고 하고 그때 등식을 성립하게 만드는 x 값을 찾아내는 과정을 우리가
방정식을 푼다 라고 얘기를 한다.
이렇게 배웠죠 자 제일 간단한 방정식 2 예를 들면 ax 니꼴 비에
꼴입니다
자 이 때 이 x 라는 놈은 우리가 미지수 혹은 변수 라고 얘기를 합니다
즉 미지수라는 것은 그 값이 얼마인지 모른다
변수 값을 여러 개를 가질 수 있다는 거죠 그러니까 여러개를 가질 수
있기 때문에 정할 수 없어서 우리가 미지수다 이렇게 얘기한다.고 보시면
되요
그래서 요 x 라는 놈이 미지수라고 표현되는 반면에 이에 이나 삐는
우리가 어떻게 표현이 되냐면 요게 이나 삐는 그냥 뭐라고 쓰면 될까요
요놈은
우리가 문자 상수 다 이렇게 얘기를 합니다
즉 문자로 표현 되긴 했지만 얘는 변수가 아니라 고정된 산수 라는
얘기에요
결국 우리가 구해야 되는 것 즉 등식을 성립하게 만드는 x 값을 구하는
거지
a 나 피 값을 구하는 게 아니라는 겁니다 ok
그래서 여러분들이 미지수라는 거 x 와 문자 상수 a b 는 9분을
하셔야 돼요 우리가 ab 를 구하는 게 아닙니다
그래서 대개 에이미 지수는 oxy 치 모 요로 1 변수들을 그저 알파벳
뜰을 사용하고요
잎은 양모 문자 상수 들은 abc 이렇게 사용하는 게 관례다 이렇게
보시면 될 것 같아요 됐죠 자 그럼 밤 우리 이거 부타 뭐 풀어볼까요
기왕 나온거 ax 는 이꼴 비를 풀어라
즉 방정식을 풀어 라고 한다.면 이거 대부분의 학생들이 안부 간단해요
선생님의 x 의 2분의 삔 해요 라고 얘기하는데
이렇게 얘기하면 틀린 겁니다
그저 지금 아마 깜짝 뭐 왜 위 틀려 이게
파악 우리는 으
2x 에 2분의 삐 로 구했다 라는건 양변을 a 로 나눴다는 얘긴데
2a 가 0이면 5 탈 거야 이 거야
여우로 나눈다는 건 불가능 하기 때문에 우리는 반드시 a 가 0닌
케이스에는 x 는 a 분 의 b 다 라고 얘기를 해야 되고요
두번째 바 a 가 0인 케이스에는 어떻게 되느냐 라는 거 때 a 가 0이
되면 x 가 뭐가 들어 같은 좌변 은영이 되죠 그래서 이 경우에 둘로
나눠서 봅니다
비까지 0이 되면 좌변 2 0
우변 2 0 이라서 등식이 성립하는 데 그 때는 x 다 뭐가 들어 가든
항상 등식이 성립하기 때문에 x 는 모든 실수 다 이렇게 얘기합니다
즉 그녀의 개수를 무수히 많은 거죠
그런데 b 가 0니다 라고 한다.면
x 값에 관계없이 좌변은 0이 되는데 우변 은영이 안되므로 어떤 교회도
등식은 성립하지 않습니다 따라서 그저 이때는 크니 없다 이렇게 얘기를
하게 되는 거예요
익은 이란 것은 방정식이 성립하도록 즉 등식이 성립하게 록 만족시키는 x
값들을 우리가 큰 뭐 또는 해 라고 얘기를 해 줘 그저 예
이렇게 표현을 하게 되는 겁니다 됐죠 그래서 여러분들 일반적인 방정식에
대한 얘기를 잠깐 했습니다
자 그러면 우리가 여기서 배워야 될 것은 소위 말하는 2차 방정식이 자
이차방정식 이라는 것은 보시는 바와 같이 x 즉 미지수 의 찾 쑤가
2차 인 경 옥 의 방정식을 얘기 하게 됩니다
그 정 또한 애가 이차방정식 이라고 딱 선언을 해 줬으니까
이 때 a 가 0이 되면 안되겠죠
그래서 여러분들 꼭 주의해야 될 게 문제에서 이차방정식 a x 제곱
플러스 px 플러스 c 2골 0 이다 라고 나왔다면
이차방정식 이란 이기 때문에 a 가 0니라는 조건이 없어도 여러분은
베이가 영니구나
이렇게 생각을 해야 된다는 거에요 특정 오케이
자 그럼 와 이제 우리가 이차 방정식을 푸는 방법에 대해서 한번 얘기를
해보겠습니다 자 제일 첫번째 가장 흔하게 우리가 쓸 수 있는 방법은 인수
분해 를 이용하는 방법입니다
예를 들어 요렇게 우리가 그저 에 방정식이 주어졌을 때 이 방정식을
인수분해 했더니 op x 프랑스 q 와 프랑스 라 고 하지 말고 - 한번
해볼까요
픽스 - 큐어 x - s 로 인수 분해 가 됐다 라고 한다.면
당연히 바
a 아 고삐를 곱해서 0이 되 따란 얘기는 a 는 0 또는 b 는 영
이라는 것을 의미하는 것이기 때문에 x 는 당연히 p 분 의 후 혹은
또는 x 는 r 군의 애쓰다 않은 것을 우리가 금방 알 수가 있는 거죠
물론 팔아 꼭 선생님 함부로 나누면 안된다면서 요 애가 이꼴 0일 때
피가 0니라는 보장이 있나요
당연히 있지 왜 a 가 0니라 그랬잖아
그러면 이거 딱 곱해 쓸 때 x 제곱의 개수는 피아 x 제곱 인데
그러면 p 곱하기 아리영 이하늬 라는 뜻이니까
이 경우에는 피도 0니고 알도 0니다 이렇게 보시면 됩니다
따라서 인수 분해를 할 수 있는 경우에는 간단하게 우리가 이차방정식의
근을 구할 수가 있는 거죠 뭐 예를들자면 ex 의 제곱 플러스 x -
일이 꼴 0
2 2차 방정식을 팔아라 라는 문제가 나왔다 고 칩시다 그럼 보세요
요거 우리 인솔이 하면 어떻게 됩니까 이렇게 볼까 여러분 e111
다크호스 로고 팝니다
그러면 요기가 이고 요기가 일인데 우리는 요기 부호를 - 로 만들면서
가 그 합은 일이 되도록 해야 되기 때문에 요렇게 하면 되겠네요
따라서 여름은 ex - 1과 x 플러스 일로 2 수분 애가 되구요
결과적으로 x 는 2분의 1이 거나 또는 x 는 - 일이다 라는 답을
얻어낼 수가 있는 겁니다 됐죠
그래서 이차 방정식을 만났을 때 여러분이 가장 먼저 해봐야 될 것은
인수분해 가 되나
이걸 먼저 보셔야 되요 오케 음
자 그 다음에 두 번째는 우리가 완전 제 곡식을 이용하는 방법입니다
이 완전 제곱 씩을 이용한다.는 건 뭐냐면 우리가 어떤 이차방정식 이
주어졌을 때 그 이차 방정식 은 항상 x - a 의 제곱이 꼴 peo
번식으로 바꿀 수가 있다라는 거야 우리가 요놈을 어떤 몸의 전체 제곱
요렇게 표현되는 식을 우리가 완전 제곱 시기 라고 얘길 하죠
요 완전 제곱 시기 좌변 에 등장하고 우변 의 상수가 등장하는 꼴로
바꿀수가 있다는거 야 그럼 하라
이놈은 x - a 에 우리 모기기피제 고비라고 한번 해볼까요
왜냐하면 요렇게 써야 플러스 마이너스 삐 이렇게 우리가 간단하게 쓸 수가
있구요
그러면 결국 x 는 a 플러스 - p
뭐 요런식으로 우리가 정리된 걸 볼 수가 있는 거죠 자 이렇게 얘기해서
잘 모르겠 찍지 예 하나 들어볼게요
x 의 재고 플러스 3 x - 인 은꼴 영이라는 방정식을 풀어 라라고
나왔다고 칩시다
자 얘는 인수분해 를 하려고 봤더니 인수 불에 다 안되네요 그저 예
따라서 이런 경우에는 어떻게 하면 되냐구요 잘바
x 의 최고 플러스 그저 얘를 어떻게 하게
아이템은 요걸 이렇게 써 볼까요 우리가 그냥 합시다
3x 팔라스 4분의 9 - 4부 4구 - e 골 0
이렇게 만들어 주는 겁니다 왜 그래야 되냐면 바로 요부분 이에 x 파스
2분의 3 천체의 제곱과 똑같아 지거든요
그냥 그래서 이게 완전 제곱 식으로 만드는 방법은 잘 가 요 x 계수의
반 즉 이불에 3 이죠
고걸 재 호 판 놈을 한번 더 해주고 빼주면 됩니다
이해가 됩니까 그래야만 이걸 전개하면 x 의 최고 플라스크 으
2배의 예 곱하기 얘 니까 이가 약품 되면 서서 맥스가 나온 거잖아
그 즉 그리고 예 제곱 이니까 사극에 구해요
자 기억하세요 누구 반에 제곱 이라고 바로 요놈 입니다 영어
쓰게 수의 절반 즉 2분의 3 의 제곱을 한번 더 해주고 빼주면 이렇게
완전 제 곡식을 만들어 낼 수가 있습니다
금융업 와 넘겨버린 데 저희가 다 넘겨 버리면 요놈이 4분의 파리 기
때문에 4분의 17 요렇게 되는걸 볼 수가 있죠
따라서 우리는 x 플러스 2분의 3이라는 요놈은 플라 스마 인 어스 루트
4분의 17로 쓸 수가 있구요
이런 우리 배운 바에 의하면 플러스 마이너스 2분의 루트 17이 다
이렇게 쓸 수가 있는 겁니다 자 따라서 x 라는 몸은 - 2분의 3
요거 넘어간 꺼 줘 그다음 플러스 마이너스 2분의 루트 17이 다라고
이렇게 우리가 방정식의 해를 얻어낼 수가 있게 되는 겁니다 그렇죠
음 그래서 이렇게 우리가 완전 제곱 씩을 이용하는 것도 가능하다 라는걸
여러분이 알고 계셔야 되요
그 다음 세번째 여러분이 가장 좋아하는 바로 크게 음식입니다
그 정 예 그래도 음식은 바 a x 의 제곱 플러스 bx 플러스 c 이꼴
영을
위에서 봤던 완전 제곱 식을 이용해서 풀게 되는 겁니다
다만 우리가 이거 이 경우에는 a 가 0보다 크다 라고 한번 가정을
해보자 이 거야
a 가 0 보다 크지 않으면 어떻게 되나요 라고 물어보는데 a 가 0
보다 크지 않으면 양변에 - 2를 곱해서 a 를 양수로 만들어주고 즉
2차 항 의 계수를 양수로 만들어 준 다음에 생각을 하면 된다는 거죠
오케 음 그럼 갑시다 잘 밤
요놈을 우리가 다시 쓰면 a x 의 제곱 플러스 bx 는 - c 다
이렇게 쓸 수가 있구요
양변을 비라 a 로만 워 버리고 시작을 하자 일까 그러면 x 의 제곱
a 분의 bx 는 마이너스의 입은 s 여기 된거죠
그 다음에 이제 좌변 을 우리가 완전 제곱 식으로 만들 겁니다 자 그러기
위해서는 x 에게 수반에 제곱을 한번 더 해 주고 한 번 빼 줘야 된다고
얘기를 했죠
따라서 요놈 반이니까 2
이에 2분의 b 인데 그 놈을 제 곱하면 사이버 네비 제곱이 됩니다 4의
제곱 뿐 의 비 제고
- 4개의 제곱 분의 b 제곱은
- av 에 쓰이다 이렇게 된거죠
자 그럼 바라 요기까지가 뭐가 된거 여기서부터 여기까지가 바로 x 프라스
2a 분 의 비 전체의 제곱이 되는거구요
그다음 여름이 넘어가면서 a 제곱 분 의 b 제곱 이 되고
- 요놈도 우리가 4a 제곱으로 통 분 을 해주면 에이스가 된다 라는
걸 볼 수가 있습니다
됐죠 음 그럼 바라 이제 요즘은
x 플러스 e 분의 b 라는 놈이 결과적으로는 이거 전체의 루트가
붙으면서 플러스 마이너스가 되는 거잖아
따라서 요렇게 우리가 쓸 수가 있어요 4개 이제 고 분해에 b 제고 -
사이의 c 다 이렇게 쓸 수가 있구요
그저 따라서 바에 쓰라는 검은
2부 내에 - p 플러스 마이너스 자 a 가 양수 이기 때문에 4의 제곱
또 2a 로 나오면서 위에는 루트 b 제곱 - 사이지만 남게 됩니다 되죠
예 그래서 이걸 한번에 정리하게 되면 x 는 그 유명한 그네에 공식이
나오게 되는 거죠 - v 플러스 마이너스 루트 b 제곱 - 상해 c
이렇게 된겁니다
오케이 요거는 요
요거 아마 여러분들이 평생 기억하셔야 될겁니다 평생 그렇게 되도록
만들어야 되요
나는 수학하고 는 담을 쌓았기 때문에
이런건 모른다 라고 얘기하는 사람들도 그 내 공식 정도는 외우고 있단
말이야
알겠어 그러니까 이거는 꼭 외에 오셔야 돼요 돼 쩡
그럼 바라 이런 그래 공식을 이용해서 우리가 앞서 봤던 방정식 문제를
하나 풀어볼까요
예 예를 들면 우리 앞에서 ex 의 제고 플라스크 x 목 - 아 요거
말고 좀 복잡하게 나왔던 놈을 풀어볼까 앞에서 우리가 x 의 제곱 플러스
3 x - 이는 이꼴 0 이다 이 걸터 봤잖아
그제 그럼 봐 얘를 그대 공식으로 풀면 요 x 는 a 가 지금 일이 있는
겁니다
따라서 2분의 - p 플라스크 - 루트에 비에 채고
- 사회의 이에 에 씨가 - 이렇게 되는걸 우리가 볼 수가 있는 거죠
따라서 얘는 2분의 - 3 플러스 마이너스 루트 17이 된 것을 볼 수가
있습니다
왜냐하면 이다 - 팔에 - - - 파리 니까
플라스타 되겠죠 그 정 요렇게 우리가 금방 답을 얻어낼 수가 있습니다
상당히 편하죠 그래 공식을 외우고 있으면 여러모로 편합니다
자 근데 이 그대의 공식에서 예를 들면 바 소위 말하는 짝수 공식
이라는게 있어요
이것도 알고 있으면 남들보다 훨씬 더 빠르게 근의 공식을 적용할 수
있습니다
자 예를 들어서 a x 의 제곱 플러스 dex 플러스 c 있 꼴 0 인데
이 짝수 공식 이라는 몸은 요요 x 의 계속 비가 어 짝수 인 경우에요
그래서 요놈을 우리가
2 곱하기 pb 다시 없다 라고 해보자 가 b 라는 놈이 입이 다시 없다
라고 하는 거지
그러면 원래 근의 공식
그게 공식은 x 는 ea 분의 - b 플러스 마이너스 루트 b 제곱 -
사라의 시 잖아요
그런데요 러미 어떻게 바뀌어 하면 ea 플레이 - 입이 다시 플러스
마이너스 루트 b 제곱은 사비 다시 의 제곱과 똑같은 거죠 - 사회씨 다
보니까
잘바 ea 분해 - 입이 다시 가 되고 플러스 마이너스 자 여기 도사
여기도 사니까 우리 가요 럼을
요 부분이 있잖아요 요건 우리가 체크를 해볼 까 요 부분을 어떻게 쓸
수가 있냐 하면 바로 요렇게 쓸 수가 있단 말이야 아 네 배에 b 다시
의 제곱 - ac 전체의 노트로 쓸 수가 있고요
요거는 사가 노트 밖으로 나오면서 그냥 b 다시 의 제곱 - ace
이렇게 쓸 수가 있는거죠
따라서 여름이 두 배의 노트 b 다시 의 제곱 - a 씨가 되는거구요
결과적으로 우리가 얻을 수 있는건 일을 전부 약 분을 시키면서 에이브 4
- b 다시 플러스 마이너스 루트 b 다시 의 제곱 - ac 다이 요렇게
간단한 씩을 얻어낼 수가 있는 겁니다
요게 바로 짝수 공식 에요
물론 예를 모르고 있어도 요 그냥 그네 공식 말 알아도 문제를 풀립니다
그런데 이 두 배 시기 들어감으로 인해서 숫자가 커지게 되고 여러분도
숫자 커지면 방황하고 당황하면 실수 하고 실수 하면 틀리고 그 정 예 2
악순환이 반복된다는 말이야
그래서 될 수 있으면 짝수 공시 까지 외우도록 하세요
알게 점
자 그 다음 아 음 아
우리가 또 이제 생각할 수 있는 게
학생들이 많이 하는 질문 중에 하나가 바로 이거예요
선생님 a x 제곱 플러스 픽스 플러스 c 이꼴 이용해서요
그대 공식에 의하면 x 는 이 2분의
- b 플러스 마이너스 루트 b 제곱 - 사이 신대 혹시 이 abc 카
a 나 b 나 c 가 복소수 이기 때문에 즉 실수가 아니라 허 수단이 i
를 포함하고 있기 때문에
루트 안쪽의 아이가 등장할 수 있지 않습니까
이런 질문을 해요 뭐 문제를 풀다보면
2분의 어 뭐 - 1 플러스 마이너스 도트 에 모일 팔라스 모아 이다고
이렇게 나올 수도 있는 거 아니냐 라고 얘기를 하면서
클루니 abc 이 글의 공식 이라는 것은 잎 옥수수 일때는 써먹지 못하는
거 아니냐 라고 질문을 합니다
그저 예 왜 우리가 아이가 루트에 - 2 링 건 알고 있지만 만약에 무츠
레아 이라는건 이런건 우리가 배워본 적이 없다는 거지
그지 그런데 바 첫째 여러분 이 두가지만 하시면 되요
그대 공식은 abc 가 복수 수요도 쓸 수 있습니다
그저 고거 알고계시면 되고요 두번째 고등학교 교육과정에서
누 수아네 아이가 등장하는 이런 문제는 절대로 출제되지 않습니다
한 번도 그런 적이 없구요 앞으로도 그럴겁니다 어 오빠 한번 믿어봐
오케 그룹 그래서 여러분들이 기억해야 될 것은 신경 끄 셔 도 된다
이겁니다
이 못 보고 써 쓰냐 뭐냐 이거 다 신경 끄세요
무조건 그냥 우리는 그대 공식을 이용하면 고등학교 교육과정에서 나오는
이차방정식 의 그늘 얻어낼 수 있겠구나
이렇게 생각하시면 됩니다 됐죠 그 예를 한번 보자 얘를 한번 얻은
어떤 열어볼까요 이런 문제가 있다고 칩시다
1+ ix 의 최고 뺐 이 두 배 1 - ix 그 다 음 - 1 플러스
아이가 이꼴 0 이다 라는
이러한 이차 방정식을 풀어 라는 문제가 나왔다고 치자 이가
그럼 바 전부 복수 수저 지금 abc 가
그래서 이 때도 그냥 근의 공식을 적용하면 되지만 조금 더 쉽게 가는
방법은 뭐냐면 이 최고 창 의 개수가 그네 공식에서 이 최고 창 의 갯수
2a 분 의 어쩌고 저쩌고 해서
2a 가 분 보에 들어가잖아요 그럼 분모에 또다시 복소수 가 등장하면
그래 공식을 써 준 이후에 또다시 실수 아 과정을 겪어야 된다 이 거야
우리가 또 한번 해줘야 된다는 거지
그래서 아 짜증난다 그럼 어떻게 하느냐에 초에 여기서 어
모래 주는데 이 x 제곱 의 개수를 실수 로 만들고 시작한 된 광야가
지금 무슨 얘기냐 하면 방 여기에다가 양쪽에 우리가 얼마의 곱해 중요하면
요조 옮겨 줄까요
이창 의 개수를 실수로 만들어 주기 위해서
양변에 요 놈의 켤레 복소수 인 1 - i 를 곱해 주고 시작한 거야
그래봤자 우변 은 0이 될 거구요
자 좌변은 요법 요런 곱하면 ex 제곱 된거 볼 수가 있죠
그다음 - 2배 자 1 - i 의 제곱은 모델이 지 아세요
1 - 이야 2 - 일입니다 왜냐하면 아 이제 봄이 - 이기 때문에 결국
- 이가 된거죠
어 그러면 여기에 - 이가 곱해 지니까 결국은 플라스크 가 되면서
얼마가 될 거야
아이가 된걸 볼 수가 있습니다
그다음 - 요렇게 곱하면 다시 2
이렇게 되는 거죠 요놈을 풀면 된 겁니다 그러면 문제가 훨씬 더 간단해
지죠
게다가 양 * 이루나 봅시다 기왕 이렇게 된거
요렇게 우리가 문제를 풀 수가 있습니다
자 그럼 그래 공식에 그대로 갔던 어법과 ea 분의 꽃 잠깐 짝수 공식
쓸 수 있겠네요
그저 아이 앞에 2 가 있으니까 그러면 a 분 의 1분에 쓰나 마나
- 빛 아시니까 요놈이 로 나는 이렇게 됩니다 플러스 마이너스 루트 b
다시 의 제곱 즉 - 아저 아이의 제 법이죠 그 정 아 이제 곱해 보자
- 1
플러스 ac 해봤자 플러스 1 요렇게 되는겁니다
그쵸 예 따라서 애가 0 되면서 답은 - 아이가 나온 거죠 자 왜 이렇게
된 양 바
요런 맛있으면 x 의 제곱 플라스
aix 플라스 아이 제곱은 이꼴 경우 요렇게 서부 되는 거잖아
그럼 이름이 뭐야 x8 si 의 최고 b 있고 0이니까 x 는 - i
라는 답을 얻어낼 수 있는 거 가 마찬가지다 라는 겁니다 됐죠
그래서 여러분들이 기억해야 될 거 개수가 복소수 여도 그래 공식을 그냥
쓰세요 상관없습니다 고등학교 교육과정에서는 무츠 안에 또 다시 아이가
등장하는 문제는 나오지 않습니다
다만 우리가 x 제고 앞에 개수 의 아이가 포함되어 있는 경우 측 복소수
1개는
양변에 그 켤레 복소수 를 곱해서 x 제곱 의 개수를 실수 로 만들어 준
다음에 크게 공식을 적용하는 게 좋겠다 라는 겁니다
오케 그쵸 그럼 1
우리가 예를 들어 봐라 모일 플라스 루트 2의 x 제곱 이라고 이렇게
출발하는 어떤 2차 방정식이 있을때도 결국 얘가 또 크게 공식에 의하면
분모의 들어가게 되는데 그럼 또 분모의 유리화 해줘야 되잖아
귀찮으니까 이런 경우에도 우리는 양변에 그저 누구를 곱해서
1 - 루트 2를 곱해서 x 제곱의 개수를 유리수 로 만들어 준 다음에
그래 공식을 쓰는게 편하다 라는 것을 알 수 있겠죠 그래서 요정도만
여러분이 기억하고 있으면 그네 공식을 이용해서 이차 방정식을 푸는 것은
큰 어려움이 없을 거라고 생각합니다

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