수학중독 이차방정식의 판별식 > 중학교수학

 

이차방정식 의 판별 식에 대한 얘기를 해보도록 하죠
여러분들이 판별 시기 뭔지 다 알고 있을 거예요 그래서 급한 별식으로
이차방정식 의 크니 실 근 일지 허근 1g 혹은 실 근 인 경우에는 서로
다른 2실 근 인지 아니면 중군 인지 이런걸 판별하는 방법은 다 알고
있는데 도대체 이겨 5기 서 나온 건진 잘 모르고 있더라는 겁니다
그래서 이번 시간에 여러분들이 익숙한 크게 공식 으로부터 판 병씩 에
원리를 설명을 드릴 거예요 되겟죠 그러니까 정식 바짝 차리고 같이 한번
보도록 합시다
먼저 이차 방정식을 생각해 봐야 되는데 에 이자 방정 ca x 의 제곱
플러스 px 플러스 쓰이는 이꼴 0 있다라고 합시다
이 때 a b 쓰인 n
모두 실수 구요 당연히 에다 2차 방정식이 되어야 되기 때문에 애인은
0니다 라는 조건이 필요하겠죠
여기 그 이대수 드리죠 abc 가 대수 들인데 이 계수 들이 모두 실수
라는 얘기는 2 2차 방정식이 실 괴수 이차방정식 이나 나는걸 알려주는
겁니다
왜 실수 라는 조건이 필요하냐 하면 요 이 판별 식을 사용할 때는 반드시
요놈들이 실수 라는 조건이 있어야 됩니다
물론 조 재 에 따라서는 실수가 아닐 때에도 선생님 판별 식을 막스
던데요 라고 말하지만 사실 고 부분은 교육과정 바뀝니다
그래서 여러분들은 아실 계획에 수 이차방정식 에서 그늘 판별할 때
사용하는 것이 판별 시기 구나 라고 알고 계시면 될 것 같아요
됐죠 그러면 이 이차방정식의 에 그는 뭐가 될까요
우리 그대 공식을 다 외우고 있습니다 아무리 수학을 못하는 친구들도 되어
그대 공식은 매우고 있죠 그래서 x 는 ea 분의 이렇게 - b 플러스
마이너스 루트 뭐가 됩니까
루트 b 의 제본 바이러스 4회 시다
요 보는 다 알고 있습니다 그리고 이 안에 우리에게 친숙한 b 제곱 -
4회 c 가 들어 있는 거죠
바로 이 b 제곱 - 4회 씨가 우리가 공부하려고 하는 판별 식 지
입니다
그래서 쥐는 b 제곱 - 4회 씨가 이런 얘기들을 많이 하죠
age 민요 영어로 판별 시기 디스프린 언 트 웨 어
그래서 거기에 g 를 따서 그냥 대부분 짝 뒤 를 사용해서 나타냅니다
서판 별식 은비 제법 - 4회 신데 아까도 말씀드렸지만 abc 를 모두
실수 인 경우입니다 따라서 b 제곱 또 실수 구요
ac 를 곱해 도 실수 고 거기다 매대를 해서 빛의 곡에서 빼줘 가짜
실수 - 실수 라 안쪽이 실수가 되는 겁니다
즉 이게 왜 실수의 되냐 하면 말이죠
만약에 abc 중에 허수가 등장할까 복소수 가 있어서 혹시 이 결과에
허수 단위 아이가 포함됐다고 한번 해봅시다
그런데 우리는 이런건 안 배웠다 라는 거죠 허 수단이가 루트 안에
들어가는 경우에 대해서는 안 되었어요
그쵸 그래서 이런 경우는 생각하지 않습니다
그래서 a b c 가 모두 실수인 경우 만 판별 식을 사용한다. 이렇게
보시면 되요
자 그렇다면 이제 요런 글자 잠깐 분해 해 보겠습니다 예를 불이 하면요
e af - 비가 되는거구요 그다음 플러스 마이너스의 eaff 에 그
다음에 루트 비애 제곱 - 사회씨 이렇게 되는 겁니다
당연히 애인은 영니라고 했구요 a b 가 모두 실수 기 때문에 예
- 에 분의 b 라는 요놈은 무슨 수가 되냐면 실수가 됩니다
그렇지 그런데 이 오른쪽에 있는 유럽 이뇨 2 애인의 실수 이지만 이
누트 안에 들어있는 b 제곱 - 사회의 씨의 값에 따라서 이 롬이 실수가
될 수도 있고 허수 가 될 수도 있습니다
그렇죠 그래서 생각을 해보면 허수가 되는 경우는 언제냐 루트 아니 0보다
작은 값을 갖게 되면 얘는 허수가 됩니다
되죠 그래서 가 b 의 최고 - 에이스가 0보다 작가야 작아지게 되면
요놈이 허수가 되기 때문에 여러분 실수 플러스 마이너스 허수 요렇게
되는거예요
그쵸 예 그렇기 때문에 이런 경우에는 컵은 을 갖는다
이렇게 얘기를 하는겁니다 반면에 비에 제고 - 4회 c 가 0보다 크거나
같으면
요놈도 실수가 됩니다 그렇겠죠
그래서 ea 분의 실수는 실수 기 때문에 어 실수 에다가 플러스 마이너스
실수를 해 주면 그 결과도 실수 니까
이런 경우에는 실권을 않는다 이렇게 얘기를 하는 겁니다
해서 일단 여러분들이 알아두셔야 할 것은 아 요런 경우에는 허은 그
다음에 요런 경우에는 실 그는 이렇게 생각하면 되겠구나
요건 요것만 먼저 알아두시면 될 것 같아요
그러면 조금 더 자세하게 여기에 대해서 살펴보도록 하죠 그래서 첫번째
1번
먼저 b 제고 - a 씨가 용 보다 작아지면 어떻게 되냐면 요
아까도 봤지만 이 x 라는 글이 - ea 분 의 비 플러스 마이너스의
2부 내의 무선 수가 된거 야 내가 루트 b 제곱 - 4회 신데
그때 요 부분이 뭐가 된다고요 이 전체가 바로 허수 가 되어버립니다
그렇죠
따라서 실수 에서 더하거나 빼 누구를 허 술을 더 가는 뺀 거니까
이 전체는 복소수 측 허수가 되는 거죠 그래서 이 경우에는 허브 내
봤는데
한번은 요 놈의 더하게 호수가 되구요
한번은 - 호수가 되기 때문에 뭐 이런 말을 쉽게 쓰진 않아요 흔히
쓰지는 않지만 이런 경우에는 서로 다른 두 허근 을 갖는다
이렇게 보시면 됩니다 했죠
어렵지 않습니다 개 그럼 두번째
만약에 b 제곱 - 에이스가 0보다 크다 라고 한번 해보죠
그러면 똑같은 이유로 요 쪽은 실수가 되고요
플라스마 인 어스 요 부분이 계속해서 실수가 됩니다
그런데 0닌 칠수 조 왜냐하면 b 제곱 빼기 사회 시가 형보다
크니까 이름도 0닌 실수 구요 분자가 그 다음에 분노도 a 는 0이
아니라 그랬으니까
요것도 0닌 실수가 됩니다 따라서 얘는 0닌 실수가 되니까
다시 한번 써볼까요 - e 의 분의 b 에다가 클라스의 - 에이브 내
누가 된다고요
루트에 b 제곱 - 4회 시를 해봤자 이 전부다 가 무슨 수가 된 거야
용닌 실수가 된다 라는 겁니다
그 정 영 아닌 실수 따라서 어떤 실수 에다가 영화는 실수를 더하거나
어떤 실수 에다가 영 아닌 실수를 뺐다 라면 이 두 개의 값은 당연히
서로 다르겠죠
그래서 이런 경우에는 어떻게 되냐면 서로 다른 두 싫 거니 되는 겁니다
이렇게 됩니다
이해가 되죠 어렵지 않아요 그 다음 세번째 가 보죠
세번째 b 제곱 - 4회 씨가 2 콜 용이 되면 어떻게 되냐면 2분 자에
해당하는 요 부분이 그냥 영웅이 돼 버립니다
그래서 이때는 x 는 - ea 분의 b 만 남게 되어
그쳐 그래서 이 경우에는 크기 2
1 다 있다나 고 얘기를 하는 겁니다
그쵸 그 이런 경우를 우리가 중근 이다 라고 얘기를 하죠 그래서 중국은
입니다
중구는 겹쳤다 라는 뜻이구요 중근 인데
중근 도타 현이 식은 입니다 실수 입니다
그렇죠 예 자 그런데 이때 여러분들이 조심 해 줘야 될 게 있어요
이중근 을 갖는다 라는거 널 어떤 의미냐 하면 자
오양 선생님이 설명을 드릴께요 중간에 가질 때
ax 의 재고 플러스 px 플러스 쓰이기 꼴 0이죠 원래 위가 풀려고
했던 이차방정식 이니
우리 차 방정식 그네 홍 식을 만들어 낼 때 얘를 완전체 곱 꼴로 바꿔서
또 없던 기억이 있습니다
그래서 요렇게 해서 얘를 av 네비 x
요런거 했던거 기억나 하니까 이렇게 되구요 결국 a 의 엑스트라 스 ea
분 의 비의 체급이 되고
요놈이 제곱 되면서 빠지는데 예를 만나니까 - 4a 분 의 b 제곱 이
빠지고 플러스 쓰이 반영이 되는 겁니다 그렇죠 그래서 욕 주의 를 정리해
주면 x 플러스 2 의 분 의 비 전체의 최고 b 구요
- 자기애를 4a 로 통 분을 해버리면 요
b 제곱의 여름을 - 로 묶어 없기 때문에 여기는 - a 씨가 되는
겁니다 이렇게 된거죠
그렇죠 근데 지금 b 제곱 빼기 사회 시간 용인 케이스를 보고 있기
때문에 여기에 분장을 용의 해 버립니다
따라서 여 여기가 전부다 이 텀이 전부 0이 되어 버리니까
결국 남는 놈은 x 플러스 ea 분 의 비 전체의 채 곳만 남게 된
것에서 이름이 걸 0
이렇게 되는 겁니다
그 채 요놈 인 다시 써보면 요
x - 2 의 분 의 비가 플러스 2분의 피가 되구요
또 x 플러스 e 의 분의 빛 요렇게 되는겁니다
이렇게 되는 거죠 즉 애가 0이 되는 경우는 두가지 입니다 요놈이 영대
과가 요놈이 영대 때 어
얘가 0이 되는 x 값 또 얼마고 여기 보시다시피 - 2 의 분해 피고
애가 0이 되게 만드는 x 값도 - 1부 내피 입니다
이걸 왜 이렇게 지금 이 얘기를 하고 있냐면 요
우리 중근 그러면 그 개수가 하나다 라고 얘기를 하는데 아닙니다
중건 도 분명히 여기서 x 는 - 2 이뿌네
b 가 나오구요 또 여기서 x 는 - 2부 네비가 나옵니다
즉 글은 두 개라는 거지 그런데 이 두 개의 근이 서로 같기 때문에 준
겹쳤다 라는 겁니다
그래서 중국은 이 된 겁니다 엄밀히 말하면 중 건도 그래 될 수는 두
개인데 그래 종류가 하나인거 조 까 똑같은 글이 두 개 존재한다. 라고
보시면 됩니다
그래 이 얘기를 왜 하냐면 여러분들을 이걸 헷갈리시는 분들이 상당히 많은
것 같아요 모르게 깐 있냐면
실 그 4가지 2 실드를 가질 조 것
2실 그늘 가질 조건
이게 뭐냐 라고 물어보면 대부분의 학생들이 판별 식 d 가 0보다 크다
가 이렇게 대답을 한단 말이야 그런데 지금 말씀 드렸듯이 중근 도 분명히
그게 개수는 2개입니다
그래서 2실 그늘 가질 조건은 g 가 0보다 크다 많이 있는게 아니라
크거나 같다 까지 보셔야 되요 이게 상당히 중요합니다 이게
알겠습니까 그래서 기억을 하셔야 되요
중근 이라는 것은 중 분이라는 것은
그네에 개수는 2개인데 종류 바 한가지인 겁니다
따라서 2실 그늘 가 절 조건을 구하라 그러면 판별 식기 가엾고 딱한
것만 보시면 안되구요
0보다 크거나 같은 것까지 보셔야 됩니다 알겠죠
그러면 이렇게 나오면 서로 다른 2실 그늘 가질 조건 2 실 그늘 가질
조건
이렇게 나오면 그때는 뭐가 된 거냐면 판별 식기 가 0보다 크다 이렇게
되는 거에요 그쵸
그래서 요거 가지 기억을 해 주셔야 됩니다
오케이 그 다음에 보시면 알겠지만 중 그네 갖는 경우에는요
2 2차 방정식을 인수분해 했을 때 완전 제곱 시기 된걸 볼 수가 있어요
완전체 곱 꼴이 된 거죠 그래서 a 로 묶어 내고 나면 여기 보시다시피
에 모의 전체의 의 제곱 이렇게 되는걸 볼 수가 있습니다
그래서 이게 완전 체고 꺼리 된다 라는 것도 기억을 하시면 될 것 같아요
됐죠 그럼 어렵지 않습니다 판별 시기 라는 게 어디 속 턱 등장을 했고
왜 개 가 0보다 크다
0보다 작다 를 갖고 실 근 이제 허근 인지 혹은 0보다 크다 영어 하고
같다 라는 걸 가지고 실 근 중에서도 서로 다른 2실 그린 지 호 극 중
근 인지 얘네들을 판별한다. 왜 그렇게 하는지에 대해서 알 수 있었습니다
됐죠 오케 자 그러면 간단한 예제 문제를 한번 풀어보도록 할게요
뭐 이런 문제가 있습니다 예 1번 이렇게 한번 써볼까요 예
x 의 제곱 플러스 와 이에 제고
- x 플러스 6y 그 다음에 플러스 14
이꼴 용인데 예를 만족시키는 실수 x 와 y 의 값은 얼만가요 이런
문제가 나왔다고 칩 4
우리가 배운 바에 의하면 어 xy 2개 값을 구하려면 xy 의 관계식 이
두개가 나와야 되는데 지금 하나밖에 안 나왔다는 거죠
그리고 못가는 거 아니냐 라고 생각할 수가 있지만 여기에 중요한 정보
하나가 주어져 있습니다
그 정보가 바로 실수 x 와 입니다
그렇죠 그러면 내가 실수한 얘기는 자 요놈을 정리 해서 x 에 대한 2차
방정식을 만들어 볼겁니다
무슨 얘기냐 하면 x 2 x 를 뺀 나머지 y 값 글과 상수 들은 그냥
상수 취급을 해 버린 거죠
그쵸 그러면 여기 전부 다가 그냥 씨의 해남 된다 라고 보시면 됩니다
지금 애인은 일이고 비는 - 4인 경우죠
그러면 x 가 실수 라는 조건이 붙어 있기 때문에 2x 에 대한 2차
방정식 은 실 그늘 가져야 됩니다
그럼 실 그늘 갖기 위한 조건은 뭐냐면 이해가 실 그늘 가져야 되고요
실 그늘 가지려면 판별 식기 가 0보다 크거나 같아야 되겠죠
그래서 판별 식을 써보면 어떻게 되냐면
얘는 판별 삽니다 뒤는 비해 최고 - 곱하기 a 가 일입니다 1
곱하기 쓰이는 이거 전부 다져 그래서 y 제곱 플러스 6y 크라스 13
이렇게 되는 겁니다 오케
이노근 0보다 크거나 같아야 만 애가 실 쑥 실 근 x 를 같겠죠
요거를 풀어주시면 - 하와이의 제고
- 2y 그다음 - 사라의 영업을 못 타면 사상 12에서 5 시기가
됩니다
금호 11을 요렇게 빼주면 얼마가 됩니까 예 - 16 에서 50일을
빼니까 얼마죠 42
36대 나요 요렇게 되요 요금이 엿보다 컬러가 타야 된다
양변을 - 로 나눠 주면 y 제곱 플러스 6 왕이 플라스크 쿠 가
0보다 작거나 같다 가 되는 거예요
그런데 요즘은 와 2+3 전체의 세법이 되고요
이놈이 0보다 작거나 같다 이렇게 되는 거죠
자 문제에서 보라고 했죠 y 도 실수 라고 있습니까
그러면 와 2+3 도 실수 내 실수에 제곱은 항상 0보다 크거나 같을
법입니다
그래서 요 음이 항상 0보다 크거나 같은 놈인데 얘가 지금 0보다 작거나
같아야 되거든요
그러면 5 얘는 누구 일 수밖에 없다
0보다 크거나 같으면 서봉 시에 0보다 작거나 갖기 위해서는 애가 이꼴
명 되는 수밖에 없다라는 겁니다
그래서 여기서 우리가 알아낼 수 있고 뭐예요
아 y 라는 놈은 얼마 벌어 - 3 있구나 라는걸 갈아 낼수가 있어요
됐죠 그러면 y 가 마이라 3 이니까 이제 여기다가 - 3 을 대입하면
됩니다
그러면 얘는 구가 되구요 - 18
플러스 13 2 되는거니까 여러분 - 구애에 어떻게 되죠
- 꼬의 식사 불도 하니까 플러스 사가 되요
그래서 결과적으로는 아 x 의 제곱 빼기
ex 플러스 이꼴 영이라는 요러한 이차 방정식을 얻을 수가 있고요
얜 또 인수분해 하면 x - 이해 제법 있고 0 된거 기 때문에 이것도
보나 1
아 x 는 얼마 구나 이 이구나 란과 할 수가 있는 거죠 됐죠
그래서 x 는 2이고 와인은 - 3이라는 실수 x y 의 값을 구해 낼
수가 있는 겁니다
이런 경우에는 이 실수 라는 요 조건주 중요한 역할을 하게 됩니다
됐죠 그래서 이런 문제도 풀어 볼 수가 있구요
하나만 더 해볼 거야 이게 이제 두번째 입니다
이런 문제를 생각해 보죠 x 의 제곱 - kx
그다음 플러스 2 캐 요 러미 완전 제곱 식이 되어야 되요
완전 제곱 식이 되기 위한 k 에 값을 봐라
나는 문제 요런 문제는 어떻게 풀어야 하면요
애가 완전 제곱 시기 된다는 얘기는 뭐 예를 인습을 했더니 x - 예를
들면 모이라고 해볼까
a 의 제곱 요런 꼴이 된다 라는 뜻입니다
그렇죠 그런데 우리 위쪽에서 몰 배웠냐 면 판별 식에서
b 제곱 - 4회 시간 0이 되는 경우에
주어진 이차방정식의 아 2차 방정식이 완전 제거 꼴로 정리가 되면서
준거를 갖게 된다 라고 얘기를 했었죠
따라서 이 경우에는 물론 얘를 완전체 곡식으로 묶어서 이렇게 풀어야
됩니다
x - 2분의 k 의 전체의 최고 b 되고요
그 다음에 - 4분의 k 제곱이 빠지고 팔라스 2k 가 되는 거니까 애가
완전체 곡식이 되려면 이 뒤에 붙은 이 뭐야 찐다 됐어 국번 지들이
연계와 된다는 겁니다
그래서 얘가 있고 용되는 k 값들을 9 하면 되는건데
생각해보면 얘를 그냥 이차방정식 으로 보는 거에요 그럼 예가 만약에 중근
을 갖는다 라고 한다.면 이런 식으로 인수 분해 대해서 이꼴 0이 되는
거니까
어 완전 제곱 시계 되려면 여기다 이퀄 여걸 붙여서 후식을 방정식으로
만들어 버린 다음에 2 2차 방정식이 준건 해가 지면 되겠구나
이렇게 보시면 됩니다 그래서 판별 식기를 보시면 비해 제고
케이의 제고 그다음 - 4부 파기 a 는 일입니다 지금 그 다음에 쓰이는
2k 해당이 되는 거니까
요놈이 월 0 되면 되는 거죠 그래서 k 적 5 - 8 k 가 이꼴
영웅이 된다 이렇게 보시면 됩니다 되죠 그럼 요 뭐 뭐야 통 분의 보면요
4분의 요건 - 로 묶어 소통 분 하면 k 제거 - 8 k 가 나오기
때문에 애가 이걸 0 되는 거잖아
그럼 내가 이 꼴이 영 돼야 되기 위해서는 에 분자가 0 대면 되고요
판별 식에서 보던 놈이라 똑같은 앨범이 나오게 된다 라는 겁니다 그렇죠
서해 가영이 될려나 접한 완전 제곱 시기 되려면 케이가 0 이거나 또는
케이가 팔이 다
요렇게 우리가 생각을 하시면 됩니다
뜨 줘 ok 자 마지막으로 여러분들에게 하나만 더 알려드릴께요
바로 그 공식에서 짝수 공식 이라는 게 있었죠
귀염 나십니까 예를 들면 a x 의 제곱 플러스
여기가 2 곱하기 b 다시 x 플러스 c 익월 용 이야
그래서 요게 입이 다시 로 주어졌다 라는 얘기는
요놈이 모란 얘기에요 짜 저술한 얘기입니다
이걸 통채로 비라고 보신다면 비가 이꼴 입이 다시 가 된 거니까 비가
짝수 다 라는걸 알 수가 있는 거죠
이 경우 우리 그래 공식 어떻게 왜 썼냐 면 사실은 어떻게 됩니까
요놈이 2ea 브레 a - 피니까 - 입이 다시 가 되구요
플러스 마이너스 루트 b 에 최고 파니까 사비 다시 에 최고 - 내 배
ace 거야 어때
어 요 안에 살을 묶어서 밖으로 뺄 수 있으니까
이에 2분의 뭐가 되는 거구요 - 입이 다시 플러스 마이너스 한번에
갑니다
2배의 루트 b 다시 의 제곱 빼기 a 씨가 되는거구요 맞습니까
음 그래서 이로다 악보 나고 나면 a 불에 몸 안 남는다고 요 - 삐
다시 플러스 마이너스 루트에 피다 씨의 최고 - ac 만남 닭 요렇게
알고 있습니다 맞춰
그러면 탄 병씩 자체 베어 만약 ap 가 짝수 를 않는다면 결국 요 안에
들어있는 요놈이 판별 식 의 역할을 하는 거잖아
그래서 이런 케이스라면 판별 식 조차 도태된다
딘은 에 b 제곱 - 4회 시가 되는게 아니라 b 다 시에 제고 - ac
로 간단하게 보면 된다 라는 겁니다
알겠죠 그래서 아까 같은 경우 우리 이 풀었던 문제 기억나니 까
예제 일본에서도 보면 이렇게 정리 하고 났더니 다 지워짐 니까 이렇게
정리하고 났더니 요기가 짝수 인걸 볼수가 있죠
그쵸 그래서 판별 식을 이렇게 복잡하게 쓰지 않고 어떻게도 간단하게 써
볼 수가 있냐며 뇨
여기서는 b 다시 지금 비가 이꼴 - 인데요
이름이 입이 다시 가 되어야 되기 때문에 입이 다시 라는 놈은 결국 -
이가 되는걸 볼 수가 있습니다
그래서 판 명씩 튀는 결국 b 다시 에 제고 마이너스의 있으니까
요놈을 - 2 의 제곱 이렇게 쓰셔도 되요
어 더 - 예고 - 얼마
ac plan 을 일이고 씨는 그냥 y 제곱 플러스 6y 프랑스 13
이렇게 되는 겁니다
결과적으로 얘를 정리하면 요 - y 제곱 - 6y 그 다음에 사회에서
이렇게 된 거니까 - 9 가 0보다 크거나 같다 이렇게 되는거니까
결국 - 양변에 곱해 주시면 이게 플러스가 되면서 어떻게 되요
부두 뭐 방향이 바뀌겠죠 결과적으로는 요러한 결과를 얻을 수가 있습니다
그래서 아까보다 게 사냥이 훨씬 줄어든 걸 볼 수가 있어요
그래서 여러분들 판별 10만 외우지 마시고 왜 오싱 팀의 짝수 일 때
비가 짝수 일 때 짝수 인 경우에 판별 식 짝수 판별 시기라고 해라 뭐
요것도 알고 계시면 큰 도움이 될 겁니다 됐죠