수학중독 이차방정식 근과 계수와의 관계 > 중학교수학

 

이차방정식 근과 개수와 의 관계에 대해서 알아봅시다
자 우리가 이차방정식 a x 의 제곱 플러스 bx 파스 쓰이는 이꼴 0
이 부근을 알파와 베타 라고 한번 이렇다 라고 와도 잘하는 겁니다 자
이럴 경우에 얘는 우리 배운 바에 의하면 최고 창에 개수는 애인이 까 a
가 앞으로 빠지고 x - 알파와 x - 벨 타이 꼴 0으로 이수 분해 가
되겠죠
왜냐하면 두 근이 알파 베타 라고 했기 때문에
따라서 여름을 고대로 우리가 전개를 해보면 a 에 뭐가 된거 안쪽은 x
제곱의 알파 프라스 베타 x 플러스 알파 베타 이렇게 되겠네요
그정 애가 있고 0이고 결국 a 까지 우리가 곱해 주면서 전개를 해주면
요런 결과를 얻을 수가 있습니다
그렇죠 a 곱하기 알파 베타 이렇게 된거죠
자 그러면 방 결국은 요 두 놈이 서로 똑같은 2차 방정식이 돼야 되는
거잖아
근데 우리가 어차피 최고 창 의 개수는 a 로 똑같이 돕기 때문에 당연히
똑같구요
자 우리가 봐야 될 건 바로 요 b 라는 놈과 - 2 곱하기 알파플러스
베타가 서로 같아야 된다는 것과
여기 c 라는 것과 a 곱하기 알파 베타 가 서로 같아야 되는 것을 알
수가 있죠
따라서 여기에서 우리는 앞 이라는 놈은 - a 곱하기 알파플러스 베타
구나 라는 걸 알 수가 있구요
결과적으로 알파플러스 배탈 하는 놈은 - a 분 의 비가 되는걸 볼 수가
있습니다
당연히 에가 이차방정식 이었기 때문에 a 가 0니라는 것을 우리가
알 수가 있구요
따라서 양변에 회의로 나누는데 전혀 문제될 게 없다는 거죠
똑같은 방법으로 에 요기에서 보면 c 라는 놈은 a 곱하기 알파 베타
라는걸 알 수가 있구요
결과적으로 알파 페가 라는 놈은 에이브 네스 이다 라는 것을 우리가 볼
수가 있습니다
그래서 여러분이 기억해야 될 것은 2 그네 합은 그저 my 너스 a 분
의 b 라는 걷고 기억하셔야 되구요
그다음 부근에 5분 a 분 에스 이라는거
그저 부호 까지 봐가면서 기억하셔야 됩니다 그래서 2군에 합은 - 에 이
창 갯수 분 의 1차 1개 수 끄지 그 다음에 2군의 곱은 에 그냥 -
아니라 플러스 2차 안개숲 운의 상수 앙
요렇게 되는 것을 꼭 기억하셔야 됩니다
이거 앞으로 어마 어마 어마하게 만 있을 겁니다
서 꼭 알고 계셔야 되요 그래서 우리가 이런 식으로 보일 수도 있지만
우리가 알고 있는 근과 개수와 의 관계를 써서 도 보일 수가 있습니다
즉 똑같은 이차방정식 에서 우리가 알파 라는 놈은
그네 공식대로 가자면 - b 한놈이 플러스 루트 b 제곱 - 사이에 씨가
되는거구요 그러면 베타는 뭐가 되겠어
이 입은 a - b - 로트
b 제곱 - 4회 씨가 된다고 볼 수가 있겠지
따라서 그냥 여기서 알파 프랑스 베타를 구해주면 이쪽에 더하면 어떻게
되요
폰 분이 되어 있는 상태니까 그대로 그제 뭐가 된 거야
2a 분의 작업 아 요놈은 플러스에 부트 고 마이너스의 루트 니까 2를
더하면 그냥 없어지게 있네요 그럼 우리가 이걸 이렇게 길게 쓰지 필요가
없겠지
그래서 ea 분해에 - b - 비만 더해지는 거니까 - 2b 돼서 우리가
알고 있는 - 2부 네비가 되는 것을 금방 알아낼 수가 있습니다
자 또한 2군의 곱은 요 자 분부 끼리 곱하면 그냥 4의 제곱 이 되는
거죠
그 다음에 분자는 바 - p 플러스 부트 b 제법 - 2시고요
그 다음에 - p - 루트 b 제법 - 4회 십니까
요거 합 차 공식 쓰면 되겠네 그제 따라서 - b 의 최고 그다음 -
루트 b 제곱 - 사회의 c 전체의 제 곡
요렇게 해주면 됩니다 결과적으로 남는 놈은 4의 제곱 분해에 자 요런 b
제곱 되겟죠 그다음 - 에 요거 제곱 때 받자 루트만 없어지는 걸 테니까
부 조심하셔야 됩니다 플러스 2시가 되네요
그리고 b 제곱 이제 곧 날라가고 a 가 1 약 뿐 되고 사는 없어지면서
남는 것은 a 분의 쓰임 안 남는 것을 볼 수가 있습니다
따라서 우리가 크네 공식을 이용해서 도 근과 개수와 의 관계를 보일 수가
있는 거죠
태초 어렵지 않습니다 따라서 화
이렇게 우리가 두 개의 근을 크네 공식 으로부터 합과 차를 알아낼 수
있다면 앞과 코 우리는 차 까지도 생각해 볼 수 있겠지 그제 뭐 이미 다
아는 거니까요 다 지워버리고 우리가 2 그래
차를 어떻게 구한 지도 한번 알아볼까요 물론 많이 쓰이진 않지만 바람
알파와 베타의 차라는 것은 누가 더 클 지 모르니까 절대 까 붙여 주면
되겠죠 그럼 그냥 얘네 둘을 뺀 다음에 절대 값 붙여 봅시다
그럼 잘가 얘네들은 절대 갑 이 a 분해에 자 - 비와 - 비는 똑같기
때문에 빼면 그냥 없어지구요 요놈 빼주면 2배의 루트 b 제곱 - 4
이씨가 남는 걸 볼 수가 있네요
그저 예 따라서 바라 요놈 요놈 없어지구요
어차피 불후 투야 우리가 어떻게 쓸 수가 있냐면 a 에만 절대 값을
붙여주고 루트 의 비 제법 - 4회씩 요렇게 해주면 되겠네요 됐죠
그래서 우리가 두 건의 차도 구해낼 수가 있습니다
그치 보세요 이런식으로 2 그 4차 라는 놈은 절대 카페 2분의 노트에
b 제곱 - 4일 씨가 된다 이렇게 생각하시면 되겠네요 됐지 어렵지
않습니다
자 그 다음에 우리가 근과 계수 와의 관계를 이용해서
이차방정식 만들기 요런걸 한번 해볼까요
음 이건 뭐냐 하면은
거꾸로 이렇게 나옵니다 알파와 배 팔을
부근으로 하는
이차 방정식 은 뭘까 이런 문제가 나온다고 생각을 해봅시다
그쵸 그럼 얘는 간단해
알파와 베타 를 2 그 들어가는 이차 방정식 은 x - 알파 그 다음에
x - 베타를 고파서 이꼴 0이 되는 놈을 찾으면 됩니다
물론 이 경우에는 요충 간의 뭐가 들어 가야 되냐 하면 그 정
2차 항 의 개수가 1인 이렇게 되어야 됩니다
왜 요렇게만 쓰면 항상 이창 의 개수가 1위 되잖아
따라서 이 창에 개수가 일니라 그냥 일반적으로 이 창에 개수가 a
이차 방정식 은 뭐가 될까 를 물어본다면 요 앞에 a 만 붙여주면 됩니다
이해가 되죠 근데 어차피 우리가 이거 전개하면 어떤 식의 되냐면 결국은
a 에 그저 음 x 의 제곱 - r 파파스 베타의 x 프라스 알파 베타
이꼴 0이 될 테니까
그제 만약 알파플러스 베타를 우리가 라주 의라고 놓고 알파 베타 를 라주
삐라 곤 온다면 이 알파와 베타 를 투 그대로 하는
개수가 이창 의 개수가 1인 이차 방정식 은 x 제법 - ax 프랑스 핀
은꼴 0이다 이렇게 만들 수가 있구요
그 정 만약에 이창 의 개수가 일니라 다른 놈이다
뭐 a 없다 라고 한다.면 이거 전체의 그냥 뭐 많고 배정된 거야 그리고
전체의 a 만 곱해 줘서 이차 방정식을 만들면 된다는 겁니다
그래서 걱정하지 마시고 간호 우리가 부근 알파와 베타 를 두근 으로 하는
이차 방정식을 만들어라
나는 문제가 나오거나 혹은 이것을 이용해서 풀어야 하는 문제가 등장할 때
이런 식으로 우리가 접근 해 주시면 될 것 같아요
됐죠 하나도 어렵지 않습니다 이렇게
자 그다음 또 우리가 배워야 되는 게 이차방정식의 켤레 은 이에요
이것도 상당히
아 중요하게 여러분들께서 많이 쓰입니다
2켤레 그니 라는 건 뭐냐면 방어
이차방정식 ax 새고 플러스 bex 플러스 스이 꼴 0에서 그쵸
첫번째 경우 우리가 모든 개수가
개수가 모두 유리수 일대 요 때를 생각해 보지 않을 거야
이 개수가 모두 유리수 라는 것은 a b c 가 모두 유리 있습니다
자 이 때 만약에 어떤 식으로 생각할 수가 이미 하면 어
p 플러스 q 루트 애미 한 근 이라면 그 정 애가 1 큰 이라면 그저
근데 여기서 pq 는
유리수 구요 그 다음에 루트 m 은 무리수 인 경우입니다
이렇다면 나머지 1건은
나머지 한 그는 자연스럽게 p - 휴 루트 애미 된다
이것이 바로 켤레 그니 라는 겁니다
즉 p 플러스 q 루트에 미한 그리면 나머지 한 것은 반드시 p - q
로터 이미 되는 거지
자 왜 그런가 를 보면요 우리가 근의 공식을 생각해보세요 근해 공식이
결국은 ea 분 의 - peppers - 뭐야 노트에 b 제곱 - 4
2시 잖아요
그런데 요놈이 요렇게 정리가 됐다 는 건 뭐냐면 결국 시가 - 2분의 삐
란 얘기고 투가 못했단 얘기야
ea 분의 1이 되는거고 루트 애미 누가 되는 거에요
결국 루트 m 이라는 놈이 루트에 b 제곱 - 2시가 됐다는 얘기
니까 당연히 나머지 1개는 플러스 가 아니라 마이너스의 노트 삐 제법 -
4회씩 즉 p - q 루트 애미 된다 라는 겁니다
이렇게 생각하시면 금방 왜 켤레 근이 반드시 근이 되는지를 알 수가
있겠죠
그 정 아니면 p 플러스 q 템을 실제로 여기에 대의 파세요
그래서 영대 는 조건을 찾으신 이후에 p - q 루트 앱을 넣었을 때 그
조건을 이용해서 이 시기 0 되는걸 보셔도 됩니다
하지만 그냥 우리가 간단하게 냐 이렇게 이해 하도록 하죠
자 그러면 바 개수가 모두 유리수 일때만 이런 성질이 있느냐 아니에요
두번째 개수가 모두 모일 때
개수가 모두 실수 일대
요 때를 또 보는 겁니다 실수 1 a+b 아이가 한 극 이라면 2
이때 중요한 건 ab 는 유리 저 유리 수가 아니라 이건 뭐죠
실수 겠죠 실수 즉 복수 수 하나를 우리가 근 으로 갖는다면
나머지 한 그는 당연히 a - b 아이가 나머지 한 근이 돼야 된다 그저
요게 바로 또 개수가 모두 실수일 때에 켤레 그네 관한 내용입니다
자기 a+b 아이는 복소수 잖아요 그 정 그러면 봐라
만약에 우리가 요놈을 알파 라고 했다면
그저 알파 라고 했더라면 얘는 a 알파 에 제고 플라스크 br 파파스
씨가 이꼴 0 을 만족한다. 라는 얘기가 되겠지
자 그런데 우리 켤레 복수 수의 성질을 배웠거든요
그러면 이 것 전부 다 에 왜냐하면 이것 주도록 해봤자 이쪽도 어쨌든
복소수 가 될 테니까
요즘에 켤레 복소수 를 생각해보면 우리 켤레 복소수 에서 사칙연산 한
후에 켤레 복소수 는 켤레 복수 수 데 사칙 연산과 같다 라고 배웠죠
그럼 얘는 a 알파 제곱의 바가 되고요
플러스 pr 파의 파고 플러스 c 바가 이걸 0 되는거 똑같습니다
그런데 이 a 나 b 나 이런 씨는 상수 자는 실수 이기 때문에 즉 허수
부 가 0인 복소수 줘
따라서 a 반은 그냥 에 이구요
비에 반은 그냥 b 구요 세계 반은 그냥 씨라는 걸 알 수가 있습니다
따라서 얘네들은 a 알파 바하 1
알파 제곱의 파고 요 플라스 pr 파고 플러스 c 가 있고 0 되네요
그대 이름은 바람 알파 제곱 즉 사측 영상 곱셈을 한 후에 켤레 복소수
는 켤레 목수 수의 곱셈 과 같기 때문에 우리는 a 곱하기 알파 바하의
최고 플러스 br 파파 플러스 c
요렇게 써도 된다는 거지 그럼 결과적으로 우리가 얻을 수 있는 것은 바로
봐라
a x 제곱 플러스 bx 플러스 c 꼴 영의 x 대신에 알파 발을 대입해
도 영 과 똑같아 지는 것 즉 등식이 성립하는 것을 알 수가 있더라는
얘기입니다
그의 개인 즉슨 알파가 한 근이 면 알파의 켤레 복소 소
1 극이 된다 라는 거지 예 이런 이유로 a+ pi 가 한 그리면 당연히
a - b 아이는 나머지 한 크기 되는 겁니다
그쵸 그래서 예를 들면 이과 뭐 이런 이렇게 나온 거죠 뭐 x 의 제곱
빼기 ax 플라스 pe 꿀 영이 있는데 이 때 a b 는 실수 달하는
조건이 붙어 써요
그리고 예외의 한 근이 예외의 한 근이 1 - 아이라면 ab 는
얼마일까요 이런 문제가 나온단 말이야
그러면 사실 1 - 아이를 여기다 대입해서 푸는 게 맞지만 우리가 이미
알고 있잖아
ad 가 모이기 때문에 실수 이기 때문에 나머지 한 그는 그저 다른 1근
입니다 그럴까
다른 한 그는 1 프라스 아이가 되는 걸 알 수가 있구요
따라서 근과 개수와 의 관계에 의해서 2군의 합은 얼마가 된 거야
이 있는 2개 더 맨 이니까 바로 - 이브 랩핑 물론 지금의 삐삐는 역
인거고 우리가 알고 내의 베끼는 이창 의 예수와 1 창에 개수 니까 그냥
- 1부 - 에 의해서 a 가 되는걸 볼 수가 있습니다
자 또한 2군의 고분 얼마야 부근에 곳도 있네요 1 - i 제곱 이니까
따라서 이 있는 일부 4에 비해서 비도 2가 된 것을 금방 알 수가 있는
거죠
따라서 우리가 이런 켤레 그네 대한 내용을 정확히 알고 있다면 이런
문제는 쉽게 해결을 할 수가 있게 된거죠 됐죠 자 오늘 켤레 그때까지
알아봤습니다 중요한 내용인 만큼 여러분들 꼭 복습 하시기 바래요