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수학중독님의 중학교수학강의 청각장애인을 위한 자막
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지난 시간까지 우리 이차방정식의 풀이 에 대해서 알아봤는데요
이번 시간에는 고차 방정식 풀이 법에 대해서 알아보겠습니다
고차 방정식 이라고 하면 일반적으로 우리가 3차 이상 의 방정식을
얘기합니다
그래서 3차 또는 4차 방정식 2 고등학교 수학 과정에서 등장합니다
물론 2 3차 나 4차 방정식을 푸는 것이 쉬운 일은 아니에요
상당히 어려운데 고등학교에서는 때 인트로 일쑤 분해 가 되거나 치 원해서
푸는 경우만 문제로 출제가 됩니다
그러니까 여러분들 겁먹지 마시고 인수분해 가 되면 인수분해 를 먼저
하시면 되구요
그 다음에 아 그치 원을 할 수 있는 똑같은 형태의 어떤 그 꿈이 나온다
한다.면 우리가 치 원 을 해서 문제를 푼다 요 두가지만 기억해 주시면 될
것 같습니다
우리 예제들을 보면서 문제를 하나씩 풀어 보도록 하죠
제일 먼저 3차 방정식 문제를 일반적인 경우 한 번 풀어보도록 하겠습니다
x 의 세제곱 - 7 x 프라스 유건이 꼴 0 이다 라고 했는데
얘는 방 제일 먼저 해야 될 건 우리가 인수 분해 가 되는지를 봐야 되요
그런데 우리 인수 분 의 단원에서 3차 이상의 인수분해 는 조립 째 법을
이용하여 1차에 인수를 먼저 찾아낸 다음 나머지 2차는 2차 식의
인수분해 를 통해서 인수 분해 한다. 이렇게 배웠죠
그러면 무조건 3차 이상의 식을 인수분해 할 때는 조 입재 법부터 시작을
하셔야 됩니다 이렇게 그리고 x 제고 팡이 없으면 영어로 자리를 채워
넣어야 된다고 분명히 말씀드렸습니다
자 그럼 가 등 이거 다 더 멀 마요
다도 하면 용 돼지 그지 요거 싹다 더해서 0 되면 이 자리에 일이 온다
라고도 말씀드렸습니다
그러면 1 1 자 곱하면 1 더하면 1 곱하면 1 더하면 - uo 곱하면
- 욕해서 0
요렇게 되는걸 볼 수가 있네요 결과적으로 얘는 x - 일이지
왜냐하면 일러 쓸 때 나머지가 0 나온다는 얘기는 x - 일이라는 인수를
갖는다는 얘기입니다
그리고 x 의 제곱 플러스 x - 6기 꼴 0
그지 요게 상 수 1 1 창의 창 요렇게 되기 때문에 이렇게 술래가
됩니다
그러면 자 x - 일은 그대로 중요한 되고요
요거는 111 여기는 2 3 어느쪽 - 이렇게 되면 되기 때문에 x -
2 x 플러스 3으로 인수 분해 가 되는 걸 알 수가 있겠죠
이거 목 쓰지 뭐 다 해보지 않아 되겠지 정도 이제 뭐 문갑 꽃 해야
됩니다
자 그러면 간단하게 그는 x 는 일 또는 x 는 이 또는 x 는 - 3
그래서 3차 방정식 이기 때문에 금이 3개가 나오는걸 볼 수가 있어요
됐죠 그래서 여러분이 가장 먼저 해야 될 것 뭐냐면 바로 수분 애다
고차 식의 인수분해 는 뭐 부터 시작한다. 조립 재 법으로 1차 1개 간장
1차 식인 인수를 찾아 내는 것부터 시작한다. 말씀드렸습니다
자 그러면 4차 시계 밤 4차 방정식 한번 풀어볼까요
예를 들어 이런 식으로 4차 감정 시기 주어졌다고 한번 해봅시다
플러스 6 있고 력 이렇게 그러면 얘도 역시 반 1 - 3 5 - 9 6
요렇게 써주고 조림 째 법을 먼저 해야 되겠죠
자 이거 보자 요거 다 더하면 0 되는 거 보이죠
얘기 했잖아요 그것이 조립 째 법에서 일 아니면 - 일이야
맞아 그것도 안되면 2 - 이고 그게 안되면 그냥 변태들이 된 문제니까
버려라 하겠습니다 자 여기 다 일러 볼까요
1 - 2 - 2 더하면 상 곱하면 3 - u - 유영 이렇게 된거죠
그 정 그럼 하라 얘는 x - 이란 인수를 갖고 다시 x 의 세제곱 -
2x 의 제고 브라스 3 x - 6 이꼴 영어로 정리가 되는 거야
그런데 여전히 이 부분이 3차시 긴걸 볼 수가 있죠
그러면 얘를 또다시 인수분해 하려면 조립 째 법을 한번 더 해야 된다
라는 걸 볼 수가 있습니다
따라서 여기서 조립 째 법을 멈추는게 아니라 요기에 대해서 한 번 더 해
주는 겁니다
우리 색깔을 바꿔 새 볼까요 요 부분에 대해서 한번 더 해주면 자살 가
얘는 1 - 3 - 요건 안 보러 거죠 그저 그러면 요 보험에 대해서 다
더하면 얼마가 영 안 되지
감 통과 자 - 일인가 볼까
홀수 번째 것들끼리 더하면 짝수 번째 것들끼리 더하면 - 8
안되지 - 일도 아냐 그럼 이 넣어볼까 자이 1 2 0
용 3 6 빵 버바 내말이 맞춰
1 - 2 - 2 해서 다 해결돼 ok
따라서 우리가 얻을 수 있는 봐라 얘는 x - 1 그다음 x - 2
그 다음에 x 의 제곱 플러스 3
이꼴 0이다 이렇게 인수 분해 되는 걸 볼 수가 있습니다
됐죠 예 그러면 얘는 큰 2x 는 일과 x 는 이는 뭐가 되는거구요 실
근이 되는거구요
여기서는 실 글이 존재하지 않지만 굳이 또 그늘 구해라 라고 한다.면
플러스 마이너스 노트 3
아이다 이렇게 우리가 구해낼 수가 있는 겁니다
따라서 이 4차 방정식의 그는 실 근일 또는 이와 그 다음에 허은 플러스
마이너스 루트 상 아 이래 가는구나 라는 걸 볼 수가 있습니다
그래서 3차 방정식 은
조립 째 법을 통해서 1차 1
이 인수를 한 번만 끄집어 내면 되구요
4차 방정식의 경우에는 지금 보시는 것처럼 조립 째 법을 2번 연속해서
1차 1차 식인 인수를 2개를 끄집어 내면 됩니다
ok 어렵지 않죠 없자 그 다음 그 다음에 주어지는 게 소위 말해서 보기
차 식과 관련된 뭐예요
고차 방정식 입니다 즉 보기 차 시기라는 것은 이렇게 짝 수차 수 불만
등장하는 요런게 이제 보기 차 시계 되겠죠
자 이런 경우에는 그냥 x 제곱을 히로 치 원해서 푸시면 됩니다
그럼 얘는 키에 제곱 플러스 10 - 22 꼴 영이 되고요
얘는 한번에 갈게요 t 플러스 o 와 그 다음에 t - 이꼴 0이 된
거니까
결과적으로는 x 의 제곱 플러스 o 그 다음에 x 의 제곱 빼기
이 꼴 0이 되는 거죠 따라서 과 쉬운거 부터 갑시다 여기서는 x
라는 놈이 플러스 마이너스 이라는 실 그늘 갖게 되고요
자 여기서 는 x 라는 놈이 플러스 마이너스 도주 oi 라는 허근 을
갖게 된 걸 볼 수가 있습니다
역시 4차 방정식의 없기 때문에 큰 이 네개가 나오는 걸 확인할 수가
있겠죠
그래서 또 이런 식으로 짝 수차 수 2 로만 이루어진 복 2차 식 형태의
4차 방정식 이 등장하면 자 왜냐하면 5차 이상은 고등학교에서 문제
안나온다고 말씀드렸습니다
그러면 봐 이렇게 나온다면 x 제곱을 t 루치 원해서 문제를 푸시면
됩니다
이후에 티를 다시 x 제곱 으로 바꿔 준 다음에 x 값을 구해 주면
되겠죠
그런데 뭐 굳이 겉의 유치원 앓고 뭐 있냐 이 거야
몇번 해보다 보면 그냥 이 상황에서 요 상황이 바로 딱 머리속에 그려지는
그런 능력을 갖게 됩니다 알게 점
연습을 많이 하셔야 되요 됐지
자 그럼 네 번째 예제 봅시다 네번째 이제는 요 x 의 제곱 플러스 ox
플러스 4
그다음 곱하기 x 의 제곱 플러스 ox 프라우슈 그다음 - 2가입 꼴
0이다 이렇게 주어지는 방정식 입니다 고차 방정식 2 줘
자 여기서 우리가 또 주목해서 볼 건 뭐냐면 여기에 똑같은 형태의 x
제고 플러스 ox 가 등장하는 것을 볼 수가 있어요
따라서 우리가요 x 제곱 플러스 ox 를 통채로 치로 치 원하게 되는
겁니다 자 그러면 방 얘는 t 플러스 4
다음에 t 플러스 6에 꼴이 되는 거구요
- 2는 이꼴 영이 되겠죠 결과적으로 t 제곱 플러스 얼마가 되요
시티가 되나요
그 다음에 밤 찰나 쓰 2- 2니까 없어지면서 0이 됩니다
결과적으로 바 티 로 묶어 주면 t 프라스 12 되면서 이렇게 되죠
따라서 튀는 0 이거나 또는 튀는 - 12 달하는 예
이런 결론은 얻을 수가 있습니다 물론 내가 결론은 아니죠
우리는 지금 x 에 대한 방정식을 풀고 있기 때문에 애를 다시 x 로
변환을 해 주셔야 됩니다 따라서 바 x 의 제곱 플러스 ox 입 꼴 0
이거나 it 가 x 제곱 플러스 ox 였으니까
자 또는 x 의 제곱 플러스 ox 가이 콜 - 12 라
요렇게 이제 문제나 가 바뀌게 되는 거죠 뭐 영성 간단하게 x 로 묶어
주면 x 플라스 5가 이꼴 0이 되는 거니까 x 는 0 또는 x 는 -
5 라는 답을 얻을 수가 있구요
얘는 x 의 제법 플러스 ox 플라스 12 꼴 0
이렇게 되는거예요 그런데 얘는 우리가 그 내 공식을 한번 써보면 요 예
그래 공식을 써보면 x 는 ea 분의 - b 가 되구요
플러스 마이너스 루트 보세요
b 제곱 - 사회의 시 니까 25 - 40 뻐
헉 니 나오는걸 볼 수가 있겠네요 그렇죠 따라서 이 경우에는 2분의
- 5
플라스 - 요금이 얼마가 나와요
- 15 가 나오나요 그래서 루트 15 아이다 요렇게 우리가 답을 써 줄
수가 있는 겁니다
물론 실수 실 그늘 구하여라 라고 했다면 요렇게만 답이 되는거구요 그
다음에 허그 늙고 허 긍까 직구 해라 라고 했다면 요거 까지 우리가 답을
써 줘야 되는거겠죠 그렇죠
자 그래서 요 네 번째 유형도 우리가 볼 수 있는 것은 똑같은 형태 가
나왔을 때는 그럼 을 통째로 t 로치 원해서 정리한 다음에 다시 티를 x
에 대한 식으로 바꿔 줘서 방정식 풀이 를 마무리 해라 라는 겁니다 자
이것도 됐죠
어렵지 않습니다 여기까지 하면 우리가 뭐 좀 저기에서 그
그 인수 분해 에서 다 해봤던 내용이에요 사실 인수 분해를 한 후에 개가
이꼴 0 되는 까만 찾아 내면 되는 거기 때문에 인수 분해 와 크게 다를
게 없습니다
자 그런데 봐라 이제 다섯 번째 가용 다섯번째 보면 이런 게 나와요
x 의 제곱 플러스 맥스의 세제곱 플러스
ex 의제 고파스 3 x 플러스 1
이꼴 영역이 된거죠 자 요놈을 우리가 살펴 봅시다 우리가 여름에 특징을
파악하기 위해서 x 제곱의 개수가 일인데 이를 생각해 준 거잖아
2 를 한번 써 보도록 하죠 그럼 어떤 일이 벌어지는 야 잘바 내 재고
베개 수와 삼수 황이 똑같구요
그다음 3 제곱의 개수와 1 창 의 개수가 똑같으며 이창 의 계수 를
중심으로 좌우가 대칭인 형태를 띄고 있는 걸 볼 수가 있습니다
자 이렇게 바 4차 시기 등장을 했는데 그 개수가
정중앙에 있는 x 제고 팡 을 중심으로 좌우 대칭 의 형태를 이루고 있을
때 풀잎 뻐근 뭐냐면요
바로 양변을 모르나 는 거예요
x 제곱 으로 나누는 겁니다
양변을 x 제곱 으로 나눈다
요 거에요 이것 꼭 기억하셔야 됩니다 그 정 가운데 정중앙에 위치하고
있는 x 제곱으로 양면을 나눕니다
단 이때 x 제곱 이 0니라는 즉 x 제곱 이용 면 x 도 0이니까
즉 x 가 0니라는 보장이 있어야 되는데
x 꿀 영월 여기다 대입해보면
좌변은 일이 되고 우변 은영이 돼서 등식이 성립하지 않습니다
즉 이 방정식의 큰 중에는 x 꿀 용이 없다 라는 거지
따라서 x 는 0니다 우리가 찾는 x 는 0니기 때문에
양변을 x 로 나눠 줘도 상관없다 이렇게 생각하셔야 되는 겁니다
알겠죠 그래서 이런 경우에 x 제곱으로 나누면
x 있고 0 을 대입해 보세요 그래서 등식이 성립하지 않는 걸 보면 아
우리가 찾는 x 값 중에는 영이라는 값은 없구나
따라서 x 가 0니기 때문에 양변을 x 제곱으로 나누어 줘도
되겠구나
이렇게 생각하시면 됩니다 됐죠 자 그럼 나눕니다
그럼 바라 x 의 제곱 플러스 맥스 플러스 2
2 플러스 x 분 의 3+ x 3 복부 4일 이꼴 0
요렇게 바뀌죠 대단하죠 그럼 이제 뭐야 되지 알겠지
x 의 제곱 프라스 x 제곱 분에게 1 요렇게 묶어 주고요
그다음 플러스 3 으로 묶어 주면 x 플러스 x 분해 길 요렇게 됩니다
플라스크 이 이꼴 0 요게 된거죠
그럼 하라 얘는 xx8 se 를 이 경우에는 c 로치 원합니다
그러면 얘도 t 로 나타낼 수 있으면 되는데
자 x 플러스 x 분 의 일은 치요 놈의 양변을 제고 파게 되면 요 x
의 제곱 플러스 2배
예 곱하기 예 해봤자 일이고요 x 의 제곱 분의 이런 있고 t 제곱 이기
때문에
아 요 놈은 바로 티에 제곱 - 이가 되는구나 라는 걸 볼 수가 있어요
태초 따라서 바라 우리는 씨의 재고 플러스 요것 좀 나중에 쓸께요
3 티저 그 다음에 - 2+2 니까 이꼴 0
요렇게 정리가 됩니다 결국 희의 t 플러스 3 이꼴 0 이기 때문에
치는 0 또는 t 는 - 3인 걸 얻을 수가 있구요
우리가 지금 키 값 구하는 게 아니니까 다시한번 요 티를 x 8 x x
분 의 일로 바꿔 줘서 애가 0 또는 x 플러스 x 분의 1은 얼마 -
요렇게 바꿔주시면 됩니다 자 다시 양변에 우리가 x 를 곱해 주면 x 제
고파스 일은 이꼴 영이 되구요
여기는 x 의 제곱 플러스 3 x 플러스 이름이 꼴 0이 되는 것을 볼
수가 있습니다
그제 따라서 여기서는 x 는 플러스 마이너스 아이라는 허근 을 얻게
되구요
그다음 여기서 x 는 그의 공식 써볼까요
이 입은 a - b 플러스 마이너스 노트 비의 제 곡 - ac 해봤자
일이네요 그 저항
따라서 영선은 2분의 - 상 플러스 마이너스 노트 오라는 실 근 2개를
얻을 수가 있는 겁니다
2 점 음 자 여기서 포인트는 두 가지입니다 다시한번 말씀드릴께요
4차 방정식 에서
가운데 황인 2차 항을 중심으로
계수 들이 좌우 대칭 형태를 낄 때는
가운데 항에 해당하는 x 제곱으로 양변을 나눈다
이후에 요렇게 정리를 해 준 후에 x 플러스 x 분의 1을 t 로치
원한다. 그저 그래서 여러분들이 중요하게 생각해야 될 건 바로 요 부분과
그 다음에 어느 부분이야
요부분 되겠습니다 대청 어렵지 않게 풀 수 있습니다
자 그럼 바 이제 마지막입니다 6번째 상황을 볼까요
여섯번째는 요
첫번째는 문제가 어떻게 나오냐 하면 x 의 5승 파스 ex 4승 플러스
맥스의 최고 아세 제고 브라스 3x 의 최고 vrs ex 플러스 1
이꼴 엽기 겁니다 그 즉 음 이걸 보자마자 아 이 선 색도 뻥 첫 내
이럴 겁니다
오차 방정식 안나온 되면서 요 나 와 버렸네 그지
자 이 경우는 특수한 경우 기 때문에 5차 방정식의 나온게 가능합니다
그 특수한 경우가 어떤 경우야 잘바 어 뭐 눈 벌써 눈치 칸 사람들이
있죠
바 얘가 332 똑같아
그지 그 다음에 이 하고 이가 똑같아
그 다음 맨 앞에 누가 있었다고 일이 있었다고 한다.면 누가 또 똑같은
거야 이라고 일이 똑같아
이렇게 또 오차 방정식 에서
오차 방정식 은 정 가운데 항의 라는 게 없죠
전체가 짝 쑥의 향이 있기 때문에 맞아
음 따라서 이런 경우에는 또 풀이를 어떻게 해야 되냐면 말이죠
잘가 얘는 조립 째 법 하시면 됩니다 왜냐하면 봐라
1 2 3 3 2 일이잖아
얘는 반드시 어떤걸 갖게 되냐면 보세요
우리가 또 조금 다른 색깔로 해볼까 요거 라 홀수 번째 있는 것들 끼리
더하면 놓지 워야 했다 그냥 내 홀 쑤 번째 있는 것들 끼리 1
3e 를 더한 것과 그 다음에 짝수 번째 있는 것끼리 더 한거 2 3일
그지 서로 어때
똑같 드라이 거지 자 이런 경우엔 요 앞에 뭐가 온다구요
요 앞에 - 이디엄 다 그랬습니다 따라서 1 - 1 - 1 2 - 1 -
1 - 1 0
요렇게 됩니다
짝 따라서 팔아 얘는 x 플러스 일과 x 의 제곱 플러스 x 의 제곱이
됩니다 x 쪽이에요 무령
직업이죠 5차 식에서 1차 인수를 끄집어 냈기 때문에 그 다음 x 3
제곱 플러스 e x 의 제곱 플러스 엑스 플러스 1 익월 0
요렇게 정리가 되는 걸 볼 수가 있어요
그래서 바 5차 식에서 어 가운데 하면 존재하지 않지만
정충 앙 요기를 대칭 축으로 좌우 계수 들이 대칭인 형태를 띠고 있다면
반드시 누구를 인수로 갖는다고
반드시 x 파스 일이라는 인수를 같기 때문에
얘를 조립 째 법을 통해서 x 파스 일이라는 인수를 끄집어 냅니다
그러면 4차 방정식의 튀어 나오게 되죠
그쵸 근데 이렇게 4차 방정식 이츄 나오면 더럽게 재밌어 애가 뭐냐
또 밭도 낯설어 나서 이거 마
1 과일이 똑같아 그냥 1 과일이 똑같 쩍
그 다음에 이 가 있죠 뭐야 4차 방정식 인데 길수 가 또 좌우대칭이
놈이야
이럴땐 문제 어떻게 푼다고 기억하니까 예 요럴때 는 x 제곱으로 양 변
나누고
그저 정리한 후에 어떻게 한다.
xps x 분해 길을 치로 시완 한다. 이렇게 알고 있습니다
됐죠 요 풀이는 여러분들이 직접 해보도록 하세요
그래서 이렇게 5차 식에서 상방 방정 지갑으로 이런거요 그제 에
우리가 이렇게 계수 들이 저한텐 측이 된거 이런식이 나오면 프리 법이
이렇다 라는걸 여러분이 알고 계시면 되겠습니다
자 이렇게 해서 우리가 고차 방정식 풀이 법을 생각해 봤는데
결국은 이수 분입니다 인수 분의 그지 유수분 애가 왜 중요한지 알겠죠
적시 나는 지금 인수 분해가 안되는 것 같다 라고 생각하신 분들은
다시한번 인수분해 를 완벽하게 다지고 오셔야 되요
앞으로 이런 일이 계속 벌어질 겁니다 알겠죠

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