수학중독 다항식의 덧셈, 뺄셈 그리고 곱셈 > 중학교수학

 

자강 식에 대해서 지난 시간에 배워 봤는데요
이번 시간에는 다항식의 연산 에 대해서 배워볼 겁니다 그래서 덧셈 뺄셈
곱셈 에 대해서 우선 깨울 텐데요
그에 앞서서 우리가 다항식 연산에 대한 성질을 그리고 지수 법칙 에 대한
얘기를 해야 됩니다
적요 얘기부터 먼저 한 후에 연산에 대한 본격적인 얘기를 해보도록 하죠
자 다항식 인 하는거 우리가 뭐 지난 시간에 봤듯이 예를 들면 ex 의
제곱 - 3x 파스 1 뭐 이런식으로 주어지는 게 다항식 이다 라고
얘기를 했었습니다
자 그런데 여기서 이 문자의 x 는 요
물론 우리가 그냥 문 짜라고 볼 수도 있겠지만 예를 들어 우리가 x 니꼴
이를 대입할 수 도 있는 거 아니냐 라는 거지
즉 이 x 라는 놈이 지금 현재 얼마인지 모르기 때문에 문자의 x 로
표시한 것 뿐이지 사실은 이 x 도 숫자가 데 이때 자리다 라는 겁니다
이해가 되죠 그러면 그냥 우리가 수
그저 m5 실수의 계산에 에서처럼 똑같은 방법으로 얘네들을 계산할 수
있지 않겠느냐 라는 게 첫 번째 여러분이 가져야 될 그저 마음가짐 이에요
거창하게 나가네 어쨌든 그래서 예를 들면 와 우리가 실수의 연산 에서 에
성립하는 그러한 뭐 연산의 성질 들이 다항식 에서도 그대로 성립한다.
라는걸 여러분셔야 된다 라는 겁니다 예를 드미 거에요 뭐 a 와 b
와 c 가 모두 다 우리가 다항식 이라고 했을 때의 그 j 자 첫번째
소위 말하는 2 1 법칙이 다항식 에서도 성립을 하게 됩니다
a 에다가 비를 더 하는거나 b 에다가 a 라는 다음 식을 더 안거나
똑같다는 거죠
혹은 an 아비를 고파 나 비에 다 a 를 곱한 아 그 결과는 똑같다는
겁니다
그래서 다항식의 연산 에서도 교환 법칙이 성립한다.는 거 여러분이 있고
알고 있어야 되구요
그 다음 두 번째 결합 법칙 2 성립하게 됩니다
그렇죠 결합 법칙 이란 건 뭐냐면 이 거지
a 와 b 를 먼저 더한 수에 씨를 더 1
그저 b 와 c 를 먼저 더한 꼭 그리고 a 를 더 1 똑같다는 겁니다
뭐 곱셈 에서도 a b 를 먼저 곱하고 c 를 곱한 아 그저 예 b 씨를
먼저 곱하고 a 를 곱한 악 결과는 똑같다 라는 얘기가 되는 거죠
그저 충분히 우리가 예상할 수 있는 그러한 결과 드립니다
그 다음 분배 법칙 도 성립을 합니다
이 분배 법칙 이라는 것은 뭐냐면
예 이런 식이죠 곱셈과 덧셈의 미 이렇게 나왔을 때 우리가 어떻게 한다.
그랬어
요렇게 요렇게 전개 하잖아요 그저 앞에서 개입이 플라스 ac 뭐 다 알고
있는 내용입니다
혹은 꺼꾸로 발음 이상하네 그지
예 이렇게 된다고 하더라도 우리가 ac 프라스 b 씨처럼 쓸 수가
있다라는 겁니다
그래서 먼저 이 다항식 이라는 것도 문자의 결국은 우리가 숫자를 대입한
것 즉 문자는 숫자를 대변하고 있는 대변인 이기 때문에 크지 냄새 나네
그래서 우리는 실수 에서 의 연산과 같은 똑같은 성질 들이 다항식의 연산
해줘서 성립한다. 라는걸 여러분이 알고 계시면 되겠다 라는 거죠 됐죠
오케이 그 다음 두 번째
뭐 이것도 여러분들 그중 학교의 수업 시간에 배워서 알고 있는
내용이겠지만 지수 법칙 입니다
예 자 지수 법칙 은 예를 들어 a b 가 모두 닫아 음식이라고 한번
해볼까요
ab 는 다항식 이구요
그 다음에 뭐 앱에는
자연수 라고 한번 얘기를 해봅시다 그래서 데이 실수 에서 성립한다.는 치수
법칙이 그대로 다항식 에서도 성립한 걸 볼 수가 있다는 거에요
예를들면 이런거 g 그새 a 를 m 번 곱한 걸 우리가 am 스승이라고
나타내는데
그저 a 를 m 번 고 팡 거에 a 를 엔버 팡 걸 곱해 버리면 당연히
m+ 앤 번 곱한 꼴이 된다 난거 이미 알고 있구요
두번째 am 승에 n 쓰는
a 를 n 번 곱한 걸 다시 n 번 곱한 거니까 결과적으로 게이가 mm
번 곱해 진단하는 것도 여러분이 알고 있습니다 그렇죠
그 다음 세번째 abp 전체를 m 씀을 하는 것은 누구랑 것 같다
am 승에 bm 승을 하는거 와 똑같다 라는 것도 여러분이 알고 계셔야
되겠습니다
됐죠 그 다음 우리가 네 번째에서 또 볼수 뭘 볼 수가 있냐 하면 당연히
b 분의 a 의 m 승이라는 놈은 당연히 bm 쓰 am 서브 이건 다
상식적인 내용들입니다 그저 단 분모에 오는 삐는 0이 되면 안되겠죠
우리가 이렇게 했습니다
됐죠 그럼 다섯번째 입니다 우리가 이거 알고 있단 말이야 am 쓱 나누기
aa 의 n 승 이라는 것은 결국 분수로 표현하면 요렇게 되는거구요
그지 일은 aa 가 똑같기 때문에 약 뿐이 된다 라는 걸 알죠
그래서 우리가 예를 약 3가지 정도로 나눠서 생각했었습니다 요거는 언제냐
하면 m2n 보다 클때 즉 분자 쪽에 a 가 더 많이 곱해서 있으면
당연히 엥 개는 약 뿐이 되서 없어지고 분자 am - 인게 만남을 거
아니냐 라는 거구요
당연히 m 과 애니 똑같다면 다 약 뿐 되고 1만 남겠죠
그 다음에 분 뭐 쪽이 더 크다 라고 한다.면 더 많이 곱해 져있다 라고
한다.면 결국 에 위에 am 게 그저 m 개가 전부 약 뿐 되고 분모 쪽에
a 가 m - m 게 남게 될 거다 라는 거 없다
뭐 이정도 우리가 충분히 예상할 수 있죠 그점 그럼 갑자기 지수 법칙
얘기를 왜 하느냐
당연히 우리가 강 시계 연산에서 이런 식의 지수 법칙 을 이용해서 연산을
해야 되는 경우가 나올 거다 라는 얘기 입니다
그 측 간단한 예제를 보도록 하겠습니다
x 제곱 분의 y 전체 사슴 그다음 곱하기 요놈은 y3 승부 내외
자 - ex 전체 제곱 이라고 한번 해볼까요
그다음 나누기 요건 좀 다르게 써 봅시다 - x 분 의 y 의 전체 y
제공
애 전체 3색 없고 요런식으로 1번 문제에 대해서 적어보도록 하죠 자
하나씩 지수 법칙 을 이용해서 풀어주시면 됩니다
예 요렇게 푼 분수로 된 경우에도 장 하지 마시고 분 뭐 따로 분자 따로
미리 직 업 시켜 주면 되는데 x 가 제곱이 꼭 그놈의 내의 재고 기니까
결국은 x 제곱 에 내 제곱이 되는거구요 그렇죠 분의 와인은 그냥 내
이제 꼭 이렇게 써 주시면 됩니다
그 다음에 요놈도 y 3승 전체의 뭐가 된거 제곱이 되는거구요 이거 분의
자 보세요
숫자와 문자가 따로 있을 때 앞부터 있을 때는 숫자는 숫자 끼리 문자는
문자 끼리 따로 계산 해 주시면 됩니다
따라서 - 이를 제 곱하면 사가 되구요 그렇죠
그 다음에 x 의 제곱 이렇게 써 주시면 되겠네요 예
그런데도 - 2 의 제곱 이렇게 싸이 되지만 숫자 계산은 여러분들이 뭐
잘 알고 있기 때문에 그냥 한번에 같습니다
자 그 다음 바 요놈을 먼저 계산을 해 줘야 돼요 왜냐하면 우리가
나눗셈은 곱하기 로 바꾸고 역수 로 만들어 버린다 라고 했으니까 예를
먼저 계산 하고 나서 그 결과를 역수 로 만들어져서 곱해 주면 되는
거니까
그렇죠 그럼 하라 자 아까 와는 다르게 - 다 붙혀 나와있지만 이거 뭐
어려운거 하나도 없습니다
그냥 - 일은 따로 세제 곱해 주시면 되고요
부모의 x 도 세제 고분자의 y 제곱을 전체 세제곱 요렇게 해주시면
됩니다
그렇죠 그럼 그래봤자 - 일에 세제곱 은 - 일이구요 그래서 -
x 세제 고픈 에 자 요렇게 되면 지수 법칙에 의해서 2와 3의 곱해
줘서 y 에 6승 이 되겠죠
그렇죠 그러면 얘는 곱하기 - y 6승 분 의 x 의 3승 이다 이렇게
우리가 쓸 수가 있는 겁니다 그렇죠 그럼 바
얘는 x 의 2 곱하기 가 돼서 8 씀 되는거 볼 수 있구요
yba 제곱 곱하기 얘는 y 에 3위는 6 잊어 분의 x 의 제곱
곱하기 - y 6승 분의 x 의 3승 이렇게 됩니다
자유 쪽에 한번 써볼까요 그럼 봐라 숫자 들 끼리 먼저 계산하면 - 사가
붙혀 나옵니다
그렇죠 그 다음에 문자 들끼리 계산을 하면 분모에 는 x 가 8승 짜리가
하나 있구요
y 육성의 와 의 육성이 곱해 지니까 y 에 12승 이 됩니다
6+6 이 된거죠 이건 분의 이름은 x 가 5개가 생기네요 그저 x 의
5승 이 되고요
2 + 3 해서 그 다음에 y 에 사슴 이렇게 됩니다
그럼 결과적으로 우리가 볼 수 있는 것은 잘 밤 - 곱하기 2
여러분 이쪽이 더 분모가 차수가 더 높죠 따라서 얘는 싹다 지워주고
802 5승 해서 x 의 3승 이 분모의 남습니다
예 당연히 5개 8개가 있으면 약 뿐 하고 나머지는 약간 나머지는 세계
겠죠
이게 또 마찬가지야 사슴과 12인승 이니까 12승 쪽이 더 크 져 따라서
싹 지워지고 이렇게 써 주면 되니까 y 에 8승 이 남습니다
그리고 부모의 는 아무것도 안 남기 때문에 1 써 주시면 되겠죠
그래서 우리가 최종적으로 얻을 수 있는 답은 x 의 3 제고와 이에 8승
분의 - 4
요렇게 얻어낼 수가 있습니다 됐죠
우리가 지수 법칙 을 통해서 아주 간단한 예제를 봤는데 람다 어려운
내용니기 때문에 충분히 이해하실 수 있을 거라고 생각됩니다
자 그런데 이러한 간단한 다낭 들의 게살 줘 이러한 법칙들이 지수
법칙들이 다항식 에 계산해서 도 그대로 적용된다 라는걸 여러분셔야
됩니다
오케이 예를 들면 보 x 플러스 1의 제곱 에다가 x 플러스 일에 세이지
법이고 펴지면 당연히 x 파 스 1의 5제 곱이 된다 뭐 이런거 그 적
얘는 뭐 ex - 이래 제곱을 다시 세제 곱해주면 뭐가 된다
뭐 ex - 이래 6승 이 된다 뭐 이런 정도는 여러분들이 상식적으로 다
알고 있어야 된다는 거죠
그정 목 3 x 제곱 빼기 ex - 이런걸 볼까요
요 놈의 제곱이 있는데 분모에 는 똑같은 몸에 뭐가 있었다 라고 한다.면
뭐 4승 있었다 라고 한다.면 당연히 맥 세고 - 2 x - 2b 분모
쪽에 두 개만 남고 일이 분해 일이 될 거다 라는 것 그제 뭐 이런거
정도는 여러분들이 충분히 다 알 수 있을 거라고 생각합니다
그래서 넘어갑니다 됐죠 자 그럼 본격적으로 우리가 다항식 에 연상의
대해서 얘기를 해보자 이겁니다
그래서 a 라는 다음 식을 우리가 뭐라고 될까요
a 라는 당한 집을 exs 제고 - 3 x 에 제고 플러스 x - 4
라고도 보고요
b 라는 다음 식을 우리가 - xs 제고 플러스 6 액스 에 세고 그다음
프라스 ox
그다음 플러스 이다 이렇게 한번 도자 익어라
자 그럼 바 a+ 핀 어떻게 되겠냐
자 이게 바로 다항식의 덧셈 이 줘 그 정 당시 게 덧셈 은요
이 동 유한 끼리 계산을 해서 내림차순으로 정리해 줄게 관리입니다
그저 자 그럼 바 역 이동 유학이 누가 있냐면 보세요 x 3 제곱 x
세제곱 이동용 이니까 옛 애들끼리 더해 주면 당연히 x 세제곱 이남 고요
그쵸
그 다음에 자 x 지고 x 직업 봉 유황이 줘 계산해 주면 플러스 4
맥스 제법 이 되고요
그 다음에 xx 동요 아니니까 계산해 주면 프라스 6 x 가 되구요
마지막으로 상수 안산 수안동 유황이 조 계산하면 - 2 된걸 볼 수가
있습니다
돼 찍 너 90다 이 거야 그러면 a - b 라는 건 뭐 게냐 이 거지
똑같습니다
도유 1 끼리 빼주면 된거 야 마장 그럼 바 동요한 길이 빼 준다면 ex
세제곱 에서 - - x 3조 법이니까
예 - - 면 + 줘 또 봤습니다 실수의 계산과 그래서 3 x 3 제곱이
되고요
그다음 요도 빼 주니까 - 9 x 제곱 되고요
맞죠 그다음 요거 두개 빼 주니까 - 4x 되고요
그다음 요거 두개 빼 주니까 - 6 되는 거기가 금방 알 수가 있습니다
됐죠 어렵지 않게 다항식의 덧셈 뺄셈을 할 수가 있어요
따라서 다항식 에 덧셈 뺄셈 은요
여기 써 볼까 그냥 우리가
다항식의 덧셈 과 뺄셈 은요
뺄 3 어떻게 한다.고 동류 1 끼리 계산
동요한 끼리 계산 후 그저 에 내림차순 정리 이렇게 보시면 됩니다
돼 초 뭐 동요한 끼리 계산하는 것
반드시 그렇게 해야 되는 거고요 내림차순으로 정리하는 건 먹고 그렇지
않아도 되지만 베개 이렇게 우리가 깔끔하게 보기좋게 는 내림차순으로
정리하는게 맞습니다 됐죠
ok 그다음 방 두 번째 다음 식에 곱셈을 봅시다
다음 식에 곱셈 도요 이거 보고 우리가 솔직히 중학교 뜬다 배우 거야
그제 예를 들어 우리가 ex - 1 곱하기 x 의 제곱 빼기 맥스 -
요런거 한번 계산해 보자 이봐 이거 다 할 줄 알지 끄지 자 이렇게
곱합니다 그럼 이는 앞으로 나오고요 x 법학의 x 제곱 이니까 지수
법칙에 의해서 x 3 지급됩니다
맞죠 그 다음 요렇게 곱하면 - 6 x 의 제곱 그저 에 이거 뭐 설명한
하면서 해도 되겠죠 그 다음 다시 이렇게 곱하면 - x 제고 플러스 3
x 플러스 사가 되는걸 볼 수가 있죠
그 다음에 돈 요한 끼리 계산을 해야 되는 거니까
자 x 3 제복은 왔답니다 자기 혼자 밖에 없구요
그다음 - 얼마가 되요 x 제곱 x 제곱 이 둘 다 있으니까
7 x 의 제법 이 되겠네요 그저 그냥 xx 있으니까 - ox 되고요
그다음 상수 안 왔다니까 사기를 됩니다
대체 그 당시 게 곱셈 이 어렵지가 않단 말이야
그래서 봐라 다항식 2개가 곱해 징 형태 글
이렇게 죽죽 하나씩 곱해 하면서 하나의 다음 식으로 만들어 주는 이
과정을 우리가 다항식 을 전개한다. 라고 표현을 합니다 아
알겠죠 그래서 우리가 이런 표현도 알고 있어야 돼
그치만 뭐 급 전개 하는 과정이 처녀 어렵거나 그렇지 않습니다 여러분이
알고 있는 방식 그대로 해주시면 되어 다만 문자에 대해서는 치수 법칙을
적용해 주면서 진행하면 된다
요정도만 여러분이 알고 계시면 될 것 같습니다 됐죠 그래서 우리 중학교
때 이미 배워서 알고 있던 다음 식에 덧셈 뺄셈 곱셈 에 대해서 다시
한번 복습을 했습니다