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2차 부등식 은요 예 2차 시기 포함된 부등식을 우리 같으면 이 2차
부등식 이라고 하 겠지
그런데 이 2차 부등식을 풀기 위해서는 우리가 2차 함수와 이차방정식 의
관계에서 배웠던 고 내용을 다시 한번 떠 올리셔야 됩니다
자 무슨 얘긴지 우리가 이차함수의 그래프 로부터 한번 시작을 해보도록
하죠
우리가 이차함수의 그래프 에서 a x 의 제곱 플러스 bx 플러스 c
라는 이창수 를 어떻게 그래프를 그린 지 배웠습니다
우리는 이번 시간에는 a 가 0보다 큰 경우 즉 이 참수 그래프의
모양래로 볼록 인 케이스 에 대해서만 한번 그래프를 생각해 보도록
하죠 그러면 팔아 우리는 3개로 나누어 풀수가 있습니다
예를 들어 요 눔 e 참 수와 이차방정식 a x 의 제곱 플러스 px
frs 쓰이는 익고 영이라는 요 2에 관계에 대해서 우리가 배워서 알고
있단 말이야
따라서 요 놈의 판별 씩 키비 제곱 - 2시 겠죠 요놈을 우리가 기
라고 했을때
d 가 0보다 큰 경우 와 지가 영아 고 같은 경우 그 다음 세번째 d
가 0보다 작은 경우에 이 함수의 그래프 가 모양이 달라지는 것을 우리가
봤었죠
자 먼저 쥐 가 0보다 가라는 것은 이 방정식이 서로 다른 두개의 실권을
갖는다는 얘기고
그 얘기는 이 함수의 그래프 가 x 축과 서로 다른 두 점에서 만난다
라는 것을 의미한다. 이렇게 얘기를 했습니다
그쵸 그래서 지금 이 경우는 어떤 경우 냐하면 알파와 배 카라는 서로
다른 두 실권을 갖는 경우 구요
당연히 알파가 베타 보다 작은 경우 를 나타내고 있습니다
그다음 2판 별식 t 가 0인 경우에 이 함수의 그래프는 요
x 축과 에 교 점 이 딱 한군데 즉 중 그늘 같기 때문에 그래프의
모양은 이렇게 x 축에 접하는 모양이 나온다 했구요 그 점을 편의상 그냥
우리가 알파 라고 표현을 해 봅시다
세번째
d 가 0보다 작은 경우 라는 것은 이 2차 방정식이 실 그늘 갖지 않는
경우를 얘기 하고요
그 얘기는 2 이차함수의 그래프 가 x 축과 교점을 갖지 않는 경우를
얘기한다.
요렇게 그려진 다는걸 이미 우리가 알고 있습니다
됐죠 이걸 조금 이렇게 옮겨 볼까요 4
요렇게 됩니다 그래서 방 2차 방정식과 이차함수 의 관계로 부터 우리는
판별 시계 따라서 달라지는 3개의 그래프를 얻을 수가 있습니다
이걸 먼저 아셔야 되요 이걸 알아야만 우리는 부등식을 풀 수가 있게 되는
겁니다
오케이 자 그럼 왜 그런지 보자 첫 번째 경우부터 한번 볼까요
2g 가 0보다 큰 경우에 우리가 잊지 가 0보다 큰 경우 를 색깔 별로
한 번 다시 다 표시 해 봅시다
요 경우를 우리가 이렇게요 색깔로 표현하면 바
만약에 a x 의 제곱 플러스 bx 에 플러스 c 가 0보다 가라는
부등식을 풀어라 라고 나왔다면 자 잘 가 0보다 크다 작다는 x 축의
위쪽에 있는 야 x 축에 아래쪽에 있느냐를 나타내는 나타낸 거기 때문에
이 그래프가 0보다 크다 즉 x 축 보다 위쪽에 그려지는 부분이 어느
부분이 냐
이걸 먼저 파악하라 는 얘기랑 똑같습니다
그렇죠 따라서 방 x 가 0보다 큰 쪽의 그려지는 것은 요 바로 요 기계
지옥이 요 부분과 요 부분 입니다
그저 우리가 좀 색깔이 께 표현을 해 볼까 예 요 부분과 요 부분이 x
축 뽀 다 더 위쪽에 그려진 겁니다 자 왜냐하면 이 쪽은 그니까 이렇게
생각하면 되요 잘 모르겠으면 와인은 있고 이 놈의 그래프와
예 당했네요 그저 않고 와인은 이꼴 이놈의 그래프와 와인은 이꼴 영의
그래프에서
이 와인은 요 놈의 그래프가 y 는 0 이 와인은 영이 누굴 나타내는데
바로 x 축을 나타내는 거기 때문에 x 축 보다 더 크다 라는 의미는
그래프가 x 축 보다 더 위쪽에 그려졌다 라는 것을 의미한다. 라고
했습니다
따라서 요 부등식을 풀기 위해서는
그래 부가 위쪽에 그려지는 것을 지금처럼 표시를 한 후에 그 범위가 x
의 범위가 어떻게 되는지 만 찾아내 시면 되요
즉 파 얘는 x 가 알파 보다 더 작은 쪽에서 0 보다 크게 그려 지죠
또는 x 가 베타 보다 더 큰 범위에서 0보다 큰 쪽의 그려지는 걸 볼
수가 있습니다
따라서 그래프로 부터 2차 부등식 의 예의의 해를 찾아낼 수가 있는 거죠
됐죠 자 만약에 여기 가 0보다 작다 로 바뀌었다고 생각을 해봐 이렇게
바뀌었다 고 생각을 한다.면 결국 우리가 찾아야 되는 건 뭐냐면
그래프가 x 축 뽀 다 아래쪽에 그려지는데 가 어딘지를 먼저 그 역
이렇게 표시를 하면 되구요
그 경우에 해는 뭐가 되냐 하면 보시다시피 x 값에 범일 써주면 됩니다
x 는 알파 보다 크고 베타 보다 작은 범위의 있으면 그래프가 x 축
아래쪽에 그려진 구나
이렇게 판단하시면 되는거예요 됐죠
어렵지 않습니다 그래서 봐 만약에 여기 규모가 들어갔다면 당연히 0 인것
까지 포함 을 하니까 여기 도트 모를 넣어주시면 됩니다
별거 없죠 그럼 보자 두번째 우리가 만약에 쥐 가 0인 케이스에 대해서
한번 얘기를 해볼까요
그러면 바 ax 의 제거 플라스크 bx 파스 씨가 0 저염 보다 까 의해
는 뭐가 되냐 하면 잘바
0보다 큰 쪽의 어디에서 그려진 야 여기 와 여기죠 근데 조심해야 될 게
x 가 알파일 때는 0 이기 때문에 0보다 큰 게 아닙니다
따라서 이 경우에 해는 x 가 알파 보다 작다 던가 x 가 알파 보다 큰
범위 가 되겠죠
이해가 됩니까 그런데 만약에 이렇게 되면 어떻게 된 거야
드 모 가 들어가면 전구간이 전부 0보다 크거나 같잖아 즉 x 축 보다
크거나 같은 범위의 그려지기 때문에 드 모 가 들어가게 되면 해가 어떻게
바뀌어야 하면 모든 실수 로 바뀌어 버립니다
됐죠 이 그림을 가지고 우리가 판단할 수 있게 됩니다
자 그럼 바 이제 예 문제가 어떻게 바뀌어야 하면
0보다 까다가 아니라 0보다 작다 로 바뀐다고 해보자 거야 그러면 x 축
뽀 다 아래쪽에 그려지는 그래프가 있나요
없죠 이렇게 되면 불능이 된 과 x 축 아래쪽에는 그래프가 그려지지 않기
때문에 이 이걸 만족하는 구간을 우리가 찾아낼 수가 없는 거죠 자 근데
여기에 등 5 가 붙어 버리면 딱 하나 영하고 같아지는 점이 발생을 한다.
이 거야
그 점이 바로 x 가 알파인 젊 딱 하나죠
따라서 이런 경우에는 해가 뭐가 되냐 하면 버 된거 야 x 니꼴 알파 다
라고 딱 하나의 해나 나오게 되는겁니다
역시 그래프로 부터 우리가 판단할 수가 있어요
됐죠 자 그럼 마지막 우리가요 케이스를 봅시다
d 가 0보다 작은 케이스를 본다고 한다.면 예
빠 a x 의 제곱 플러스 bls 플러스 c 가 0보다 크다
2 부등식의 해는 뭘까 자 그러기 위해선 우리는 이 그래프가 0보다 큰
범위에서 그려지는 구간을 이렇게 표시하면 되겠죠
어 그런데 모든 그래프가 x 축 뽀 다 위쪽에서 그려지네요 따라서 이
경우에 바로 뭐가 되는 거야
부정 즉 해는 모든 실수가 된겁니다
맞죠 여기에 등 5 가 붙는 다고 하더라도
그래프는 x 축 보다 전부다 크거나 같은 범위의 그려지기 때문에 부정
이렇게 되는 거죠 자 그런데 만약에 문제가 0보다 차
아 혹은 작거나 같다 로 바뀌었다면 이 두가지 두 가지 경우 모두 답니다
그럼 면 그래프가 x 추 아래쪽에 그려지는 구간이 없기 때문에 이
경우에는 불능 이렇게 된거죠
먼저 하겠습니까 여러분들 그래서 요렇게 수익의 아 지 의 그래프가
가능하다는 걸 알고 이 세가지 그래프 로부터 각각 부등식 의해 를
찾아내는 방법 즉 그래프가 x 추위 쪽에 그려지는 x 의 구간
그다음 x 추 아래쪽에 그려지는 x 의 구간 혹은 증오가 붙었을 때
각각의 값을 포함 시킬 거냐 말 거냐 까지 연습을 통해서 예 딱 여러분
것으로 만들어 가지고 있어야 되요
오케 자 그럼 바 이 경우는 지금 여러분들이 보셔서 알겠지만 모두다 a
가 0보다 큰 경우에 대해서만 그래프를 그려 썼습니다
그러면 꼭 선생님 혹시 2차 부등식 중에 - 섹스 지고 뭐 이렇게
해가지고 요
이 창에 개수가 음수 인 경우는 어떻게 할까요 뭐 이런 애들이 있단 말야
그저 뭐 이렇게 애가 0보다 작다 이런 문제는 어떻게 푸나요 그런데 약
흐름 양 별의 - 1 곱해서 최고 창을 모름 만들어 버려요
양수로 만들어서 부도 방향 바뀌게 찌 양수로 만들어서 문제를 풀면 된거
야 그럼 봐라
이놈은 음 어떻게 인수분해 가 되냐면 x 플러스 삶과 x - 1호
인수분해 가 된단 말이야
그 얘기는 바 아까 애가 그렇게 인수 그래야 된게 아니라 x 제곱 플러스
x - 6 이꼴 영이라는 방정식을 풀게 되면 우리가 요렇게 수 분해가
되면서 해가 - 3과 이란 걸 알 수가 있죠
그럼 이놈 바로 y 는 x 제곱 플러스 x - 6 애 그래프는 어떻게
그려진 야 하면 이렇게 그려진다 이렇게 두개의 서로다른 실권을 가졌기
때문에 여기가 - 3이고 여기가 2가 되는 거지
그제 그럼 바 우리는 이름이 0보다 큰 범위를 찾아야 되기 때문에 그래프
중에 x 축 뽀 다 위쪽에 그려지는 구간을 이렇게 먼저 표시를 해주면
됩니다
그리고 이 파란색 표시가 된 x 의 구간을 구하면 되는 거니까
결국 x 는 뭐 보다 더 작 등 가
x 는 - 삶보다 더 작 등 가 왜냐하면 이 구간에서 그래프가
위쪽에 그려진 이까 혹은 x 가 이보다 더 큰 구간의 있으면 부등식을
만족한다. 라는 걸 볼 수가 있는 거죠
쉽죠 어렵지 않습니다 자만이 여기 등 5가 붙었어
그럼 당연히 여기도 등 억압 웃고 여기도 증거 가 붙으면 되겠네요
왜냐하면 x 축 뽀 다 위가 아니라 x 축을 포함해서 그 위 니까 이점도
들어가고 이점도 들어가는걸 우리가 볼 수가 있기 때문에
얘 되죠 이렇게 우리가 그래프를 통해서 답을 찾아 내 시면 됩니다
됐지 어렵지 않다 이가 어렵지 않다
그래서 여러분들 이 먼저 제일 먼저 알아야 될 게 결국은 2차 방정식과
이 참수 그래프 의 관계에 요
그 관계를 이차방정식 의 판별 식으로 부터 먼저 그래프를 9분해서 그린
다음에 그 다음 x 축 위쪽 수축 아래쪽에 그려지는 구간을 찾아가는
과정을 거쳐야 된다는 겁니다
알겠습니까 예 예 지금 선생님이 조금 빠르게 설명을 했지만 여러분들
천천히 다시 한번 보시면서 반드시 2차 긍지 푸는 방법을 연구 하셔야
되요
자기 것으로 만들어야 된다는 얘기입니다 됐죠 오케이
자 그러면 우리가 이차방정식의 처럼 2차 부등식의 작성 2차 부등식을
만드는 방법을 또 알아볼 수가 있단 말이야
예를 들어 해가 아 뭐 알파 x 베타 요렇게 있다라고 칩시다
당연히 알파가 베타 보다 큰 경우 줘
그리고 x 제곱의 개수가
1인 방정식 1인 2차 부등식 방정식니네
예 를 만들어라 라고 문제가 나온다면
이건 당연히 어떻게 된 거야 해가 요렇게 되고 x 제곱 의 개수가
일이니까
결국은 그래프는 요렇게 그려진 단 얘기 겠네요
맞죠 그러면 알파 고 베타가 두근 이 되기 때문에
이놈을 마치 알파와 배탈을 두근 으로 갖는 이차 방정식을 만들듯이 이렇게
만들어 버리면 된 거야
다만 여기가 이꼴 용의 되는게 아니라 자파 알파에서 베타 사이에 있는
구간이 라는 것은 보시다시피 x 축의 아래쪽에 그래프가 그려지는 국
아니기 때문에 요 부분을 우리가 모르 바꾸는데 0보다 작다 로만
바꿔주시면 된 거에요
오케이 됐지 그리고 전개하면 x 의 제곱 - 알파 플러스 페타 x 플러스
알파 베타 가 0보다 찼다
요렇게 우리가 2차 부등식을 만들 수가 있는 겁니다
만인의 여기 등 어가 들어왔다 라고 한다.면
여기도 두고 여기부터 뭐 이렇게 된거냐 그 성 그리고 x 제곱 의 개수가
일니라 ok 어따 라고 한다.면
지우고 다시 14k 다 라고 한다.면 이렇게 만들어진 부등식의 양변에
케이만 곱해 주면 되는데 문제는 k 다 양수 이면 부도 방향이 그대로지만
케이가 음수 이면 부 두고 방향을 바꿔 줘야 된다 만 조심하시면 되요
알겠습니까 예 그런데 대부분의 경우는 x 제법에 갯수 갈 1인 경우 를
다루게 될 겁니다
예 알겠죠 요렇게 알고계시면 되구요
그럼 반대로 어떻게 하는데 해가 어떻게 주어지는 경우 해가 x 가 알파
보다 더 작고 x 가 베타 보다 더 크다
물론 이 경우에는 알파가 베타 보다 작은 경우가 되겠죠 그럼 바
우리는 먼저 알파와 베타 를 푸 그 들어간 는 이차 방정식을 만드시면
됩니다
이렇게 그리고 예 례 크게 툴을 그리는 거죠
요렇게 그럼 여기가 알파 고 여기가 배 탄 대 잡아
x 가 알파 보다 작은 범위에서 이 그래프는 요 부분이 되겠죠
또 x 가 베타 보다 큰 구간에서의 그래프는 요 부분이 됩니다
아 얘기를 하나 빼먹었네요 그저 여기서도 x 제곱의 개수는 얼마다 1인
경우 다 이렇게 우리가 본다면
그쵸 요렇게 됩니다 따라서 요 파란색이 채워지게 파란색이 표시된 요구가
는 x 축에 위쪽 아니기 때문에 우리가 여기 등골을 0보다 크다 로만
바꿔주시면 됩니다
뭐 예를 들어 여기 부모가 들어갔다고 한다.면 여기도 등 5 를 붙여 주면
되겠죠
그저 그리고 이걸 전개하면 x 의 제곱 알파플러스 베타 x
그다음 플러스 알파 베타 가 0보다 크거나 같다
이런 식으로만 바꿔주시면 됩니다
역시 이차함수 의 그래프가 아주 중요한 역할을 하는 것을 볼 수가 있게
되요 됐죠
예 여러분들 요 뭐 이 경우에도 뭐 x 제곱 x 가케 이다 그러면 양변에
케이만 곱해 주면 되는데 케이가 음수 일때는 붕어 방향 바꿔 주는 것만
친형 쓰시면 됩니다 되죠
결과적으로 봐 2차 부등식을 풀거나 이차 방정식을 만들 때 상당히
중요하게 작용하는 것이 바로 2차 방정식 y 참석 그래프의 관계의 어
고걸 정확하게 파악을 못하면 2착 부등식 또 제대로 풀지 못하게 됩니다
알겠죠 따라서 라는 아직 2차 방정식과 이차함수 그래프 의 관계를 잘
모르겠다 라고 스스로 판단이 되면 그 부분부터 가서 다시 공부를 하셔야
됩니다
이렇게