수학중독 점과 직선 사이의 거리 공식 및 증명 > 중학교수학

 

점과 직선 사이의 거리 에 관한 얘기를 해보겠습니다 자 점과 직선 사이의
거리 라는건 요 이렇게 그제 직선이 있고 처음 이 있을 때
요 점에서 직선의 내린 수선이 있을 거 아니에요 그점 직선의 내리 수선의
길입니다
요렇게 수설 내렸을 때 같이 까기 되면 바로 요 길이 파란색 선분의
길이가
점과 직선 사이의 거리 d 가 된거죠
그쵸 그래서 우리가 공식도 외우고 있습니다 예를 들어서 애가 ax 원
플러스 relax
플러스 by 플러스 씰이 꼴 영웅으로 그저 함 시기 주어지는 직선 이구요
요즘에 좌표를 우리가 x1 콤마 의원이라고 해본다면 2g 라는 놈이 루트
a 제곱 플라스 p 의 제곱 분의 절대 깝 a x1 파스 by 원 타스
c 로 표현된다 란 걸 다 외워서 알고 있습니다
그치 자 물론 공식만 알고 있어도 요 문제 푸는 데는 전혀 지장이 없어요
그렇지만 우리가 공식이 어떻게 나왔는지 한번 정도 봐야 될거 아니야
그래서 이번 시간에는 이 공식을 외우는 것 뿐만 아니라 이 공식에 어떻게
나왔는지 에 대해서 한번 생각해 볼까 합니다
자 그러기 위해서 첫째 요 직선에서 요
에이나 삐는 영니라 합시다 a 도 0니고 삐 도영닌게
오만 생각을 합시다 왜냐하면 a 가 0이 되버리면 얘는 x 축에 평행한
직선이 되구요
띠가 영의 되버리면 얘는 y 축에 평행한 직선이 되기 때문에
축에 평행한 직선 까지 의 거리는 쉽게 구합니다
자 예를 들어서 뭐가 이렇게 그저 와인이 거 씨라는 요러한 직선이 있었다
고 했을 때 여기 x1 콤마 와 의원으로부터 이 직선 까지 의 거리는
그냥 y1 - c 의 절대값이 거 아니에요
그래서 이건 쉽기 때문에 우리가 따로 얘기를 안 하구요
여기서는 a 와 b 가 0닌 경우 그저 a 도 0니고 삐
도영닌 경우에 대해서만 번 다뤄보도록 하겠습니다
자 그럼 보자 요기 그저 요 접을 우리가 수선의 발을 x2 콤마 y2
라고 얘기를 한다.면
ex1 y 원과 x2 y2 2점을 지나가는 직선은
이 원래 주어진 직선과 수직이 될 겁니다
따라서 두 직선 기울기의 꼽은 - 일이 되어야 되겠죠
그래서 우리가 x2 - x1 분해 2
y2 - y1 이라는 놈은 그제
자의 직선의 기울기가 얼마니 하면요 이거 뭐 다 알고 있지만 - diva
가 됩니다
그럼 예랑 곱해서 - 일이 되려면 얘는 av 네비 가 되어야 된거죠
그쵸 그래서 우리가 앙 그만 나눠주고 또 나눠주면 어떤 식의 되냐면
아 비 분의 뭐가 와이프 - y 원은
a 분의 x2 - x1 요렇게 되는걸 볼 수가 있습니다
자 이 두 값이 똑같으니까 그 똑같은 값을 우리가 그냥 k 다라고 한번
봐 보도록 하죠 그러면 이 짓 이라는 것은 우리가 어떻게 구할 수가
있냐면 루트 뭐 되니까 아냐 두 정상의 거리 인거죠 그래서 x2 - x1
의 제곱 플러스 y2 - 와 의원의 제곱 이렇게 됩니다
그런데 여기서 보면 x2 - x1 은 ak 니까 아 얘는 다시 쓰면 a
제곱 k 제곱이 되는거고
와이트 - y 원은 bk 니까 비해 제거 k 직업 이렇게 됩니다
자 따라서 k 로 묶어 버리면 뭐가 되냐 하면 k 제법에 a 제보
플라스크 이제 법이 되고요
결국 k 제곱이 밖으로 나올 수가 있는데 밖으로 나올 때 항상 절대 값
달고 나오죠
그래서 절대 가 케이의 a 제곱 플라스 p 제곱의 누트 된다 이렇게
보시면 됩니다
그쵸 이렇게 쓰면 되겠네요
자 그러면 이제 우리가 2k 가 누군지 만 알면 요 공식을 유도해 낼
수가 있는 겁니다 자 그런데 우리가 또 아는 게 뭐냐면 이 x2 y2 가
이 직선 위에 있는 점이 기 때문에 결국 2a x2 y2 를 여기에다
대입해 도 이 등식이 성립하게 됩니다
즉 a x2 프라스 by2 파스 씨가 이꼴 0 이어야 된다 라는 걸 볼
수가 있는 거죠
그렇죠 예 자 그러면 바 우리가 여기서 뭘 볼 수가 있냐면
이겁니다 아 여기서 똑같이 y2 라는 놈은 bk 프라스 y1 이
되는거구요 그다음 요섭 또 생각해주면 x2 라는 놈은 at a 플러스 x
원이 됩니다
따라서 여러분 고대로 여기다 개입을 해주면 요
a 제곱 k 의 파라스 ax 원이 되고요
그다음 플라스 b 제법 케이의 플러스 py 원이 되고 플러스 c 이꼴
0이 됩니다
자 그러면 a 제곱 클라스 p 제곱 km 뭐가 되냐 하면 - a x1
이거 전부다 넘어가면 - 되겟죠 그래서 요렇게 되는걸 볼 수가 있어요
이렇게 되는 거야
따라서 k 라는 놈은 뭐가 되냐 하면 a 제곱 플러스 p 제고 플레이 -
a x1 플라 스피 y1 플러스 c 가 됩니다
됐죠 자 그러면 바라 아까 우리가 쥐가 바로 요렇게 주어진다 그랬으니까
d 는 절대 까 k 입니다 그럼 절대 값이면 그냥 뭐 하는데 어차피 a
제곱 프라스 b 제곱 은 양수 1 테고요 분의 절대 값이 니까요 - 빼고
얘만 써도 되겠죠
요렇게 되는겁니다 그 다음에 노트에 a 제곱 플러스 b 작업이기 때문에
요거요거 약 뿐 해주고 나면 분모에 만 루트에 a 제곱 플러스 p 제법
인 안고 분자 이는 절대 카페 2x1 파스 by 원 타스 씨가 남는 것을
볼 수가 있어요
그래서 우리가 아니 공식을 얻어낼 수가 있는 겁니다 됐죠
이렇게 하면 또 어렵지 않게 우리가 공식을 증명할 수 있습니다
그래서 여러분들께 꼭 기억하셔야 될 거 그점 점과 직선 사이의 거리
공식이 이렇게 된다는 건 반드시 외우고 계셔야 됩니다
그리고 증명 자체가 시험에 나온 적은 없어요 그렇지만 이 공식 만 외국어
이걸 모른다는 건 말이 안 되죠
수학 공부하는 사람이 자세가 아닙니다 그래서 증명은 우리가 이런 식으로
해 볼 수 있다는거 기억해 주시면 될 것 같습니다