수학중독 원의 방정식 > 중학교수학

 

이번 시간에는 원의 방정식의 대해서 알아보죠
자 우리가 직선의 방정식을 공부할 때 무슨 얘기 했어 냐 면 결국 이렇게
생긴 직선이 라는 것들이 그저 사실 그 안을 들여다보면 수많은 점들이
이렇게 다닥다닥 따닥 찍히는 바람에 그저 직선 처럼 보이는 거다
결국 직선 도 점들이 모여서 된거 다 라고 말씀을 드렸습니다
그래서 우리가 직선의 방정식은 몰 듯한 거냐면
이점들이 없던 규칙성을 갖고 모여 있어야만 직선이 되는가
그 규칙성을 나타내 주는 식이다 이렇게 말씀 드렸죠
그럼 봐 원의 방정식 또 똑같이 생각을 할 수가 있다는 겁니다
원 이다 그러면 우리가 항상 이렇게 똥그란 뭔가를 떠올리 줘 또
그런겁니다 그저 그렇지만 얘도 결국은 모두 리모 2 뭐냐면
정글이 이렇게 타다 닭 모이 거죠 그래서 이 점들이 모여서
이루고 있는게 바로 원이다 이렇게 생각한다.면 아 그럼 원의 방정식 이라는
건 결국 이 첨 들이 모여있는
규칙성 어떠한 규칙을 갖고 모여 있는 것인가 를 표현할 수 있는 10 을
구하면 되겠구나 라는 거죠
그저 작은데 우리가 원이 뭐냐 라고 물어보면 그 원의 정의해서 부터
이점들이 어떤 규칙으로 보여 있는지를 알아낼 수가 있더라 이겁니다
그 뭐냐 원은 중심 이라는 게 있죠
그럼에 이 중심으로부터 원 위에 어떤 한 점을 잡아서 이 둘 사이의
거리를 구하면 항상 그 놈이 반지름 r 과 똑같아 라는 걸 우리가 알고
있습니다
즉 이 점을 차 바서 충신과 의 거리를 구해도 r2 절차 바서 충 심과
의 거리를 구해도 r
뭐 이 정차 바서 중심과 의 거리를 구해도 계속 r 이렇게 된거죠
그러면 바울이 가 아 그리고 우리 점과 젊 사이의 거리 구하는 공식을
이미 배워서 알고 있단 말이야
그러면 이 원외 방정식을 나타내는 게 크게 어렵지 않겠구나 라는 겁니다
자 그래서 봐바
우리가 이충 심에 좌표를 a 콤마 b 라고 얘기를 하구요
그다음 원 위에 있는 이미 의 점입니다 어떤 점을 될진 모르겠지만 어쨌든
원 위에 점을 나타내는 것을 x 콤마 와 이라고 둔다면
결국 이 두점 사이의 거리가 항상 알이 되야 되는거 아니냐 라는 거죠
흐미 두점 사이의 거리는 x - a 에 체 곡 그다음 플러스와 2 - p
의 제곱 mon 뭍으로 나타낼 수가 있구요
그 길이가 바로 반지름 r 과 똑같다 이렇게 되는 겁니다 자 그래서
요놈이 바로 이 원기의 점들이 모여 있는 규칙성을 나타내는 식이다 이렇게
볼 수가 있는 거죠
그런데 우리가 또 태생적으로 이 루트를 싫어해요 루트만 나오면 왠지 불이
수 인거 같고 뭔가 복잡해 질 것 같고 아주 심리적으로 불안한 상태가
된다 버려야
그래서 이 루트를 없애 버리자 나 름
기왕 우리가 심리적으로 불안해 하면서 까지 수업을 공부 할 이유는 없지
않느냐 뭐 측 모두 다 그러고 있지만
그래서 우리가 이 항변을 제 곱해서 루트를 없애 버립니다
그래서 양변을 제 곱하면 어떻게 되냐면 바로 x - a 의 제곱 플러스
y - p 의 제곱은 이제 우변 이 뭐가 되겠어 r 제곱 이렇게 되는
거죠
이놈이 바로 최종적으로 우리가 배울려고 하는 원해 방정식이 됩니다
오케 자 따라서 원 하나를 정해 하기 위해서는 뭐가 필요하냐 필요하냐
하면 그저 중심 줘 오늘 않은 한자 다 나옵니다
a 콤마 b 라는 중심이 필요하고요 그다음 반지름 얘는 한자 로 못
씁니다 그래서 반지름 r
요 두가지만 있으면 원 하나를 정리할 수 있고 이 두가지 로부터 원의
방정식을 우리가 끌어낼 수 있다는 거 여러분이 알고 계셔야 되요
따라서 원해 방정식이 이런식으로 주어 졌을때 a 콤마 비가 중심이고 아니
반지름 이라는거
자 조심해야 될 건 거야 학생들이 항상 헷갈리는데 여기서 조심해야 될
것은 이 여기에 나온 이 값이
반지름니라 반지름 제곱 이라는 겁니다
그래서 대개는 그냥 쓸 때 예를 들어 반지름이 이면 e 에 제공 이렇게
주면 좋을텐데
그제 대개는 그냥 이렇게 줍니다
그럼 그냥 급한 마음에 또 문제를 풀다가 반점이 사하구 나 이렇게
생각하는데 아기의 요 반지름은 사단이 라이가 되는걸 꼭 기억하셔야 됩니다
됐죠 그래서 요렇게 중심과 반지름을 한눈에 알아보기 쉽게 표현한 요러한
원의 방정식을 우리가 원래 방정식의 표준 형이다 이렇게 얘기를 합니다
그죠 예 또 실수 했네요 그쵸 이렇게 쓰면 됩니다
원의 방정식의 표준입니다 이렇게 보시면 되요
자 그러면 원해 방정식이 이 표준형 말고 일반형 도 있는데 그 일반형은
뭐냐면요
아주 간단합니다 얘를 뭐 해 버린 거에요
전개 해 버리는 겁니다 전 께 그지 예 얘를 전개하면 잘바 x 의 제곱
- ex 프라스 a 제곱 스트라스 y 에 제고 - 2 by 플라스 b 의
제곱은 있고 r 제곱 이렇게 되네요
자 정리하면 x 의 제곱 빼기 eax
아 이렇게 정리 하지 말까요 우리가 2차 1 부터 5 봅시다 플러스와
이에 제고 5 - ex - 2 by
트러스의 이제 고 플라스틱 b 제곱 - r 되고 이 꼴 0
요렇게 한번 써보도록 하죠 그저 r 제곱 또 좌변 으로 넘길 겁니다 자
그러면 우리가 어떠한 식을 얻어낼 수가 있냐 하면 바로 봐 x 의 제곱
플러스 와 이에 최고
그다음 여기를 욕 - ea 를 그냥 나 ga 라고 한번도 버저
어차피 요놈은 앞에 붙은 계수
즉 상수가 될테니까 그지 예 그다음 아틀라스 요 - 2b 를 라주
입이라고 나 봅시다 아 그 다음에 마지막에 오는 이 a 제곱 플러스 p
제곱 - r 제곱을 라주 씨라고 논다면 요렇게 정리할 수가 있겠죠
그저 그래서 요놈이 이제 또 우리가 두 번째로 배우게 될 거에요 월에
방정식 의 일반 형이 됩니다
요놈을 우리가 일반 형이다 이렇게 불러요 쓰일 반년 별 게 아니라 그냥
표준형 을 주로 정리 해서 이렇게 그저 때 x y 에 대한 모델임 차츰
뭐 이렇게 그저 정리를 한 겁니다
그래서 여기서 이제 여러분들이 주의깊게 보셔야 될 게 이 원외 방정식은
요 x 도 제고와 이도 제고 그저 그래서 x 에 대한 2차시 또 y 에
대해서도 2차시 끼어야 되며
ex 제곱과 y 제곱 x 제곱의 개수 와 그저 y 제고 베개 일수가 서로
같아야 됩니다
그 채 1 1로 같잖아 예를 들어 여기가 이이가 왔으면 양면을 그냥 2로
나눠 주면 됩니다 그래서 결국은 x 제고와 이제 고베 개수를 일로 우리가
통일할 수 있다
나는 걷고 기억해 주셔야 되구요 또 한가지 기억해야 될 게 x 곱하기 y
1기 없다 이겁니다
음 x 곱하기 y 하니 없어야만 우리가 원외 방정식이 된걸 볼 수가
있어요 여러분 기억하세요
이름이 x 에 대해서도 2차시 y 에 대해서도 2차 식
그다음 x 제법에 개수와 인 세법에 괴수가 서로 같아야 만 하구요
그다음 x y x 곱하기 y 조 x y 아니 없어야 만 원의 방정식 2
된다 라는 걸 우리가 알 수가 있습니다
그렇죠 오케이 자 그럼 과학
우리가 아니 x 제곱 플러스 y 제곱 플러스 a x 플러스 py 플러스
c 이꼴 0으로 주어지는 2
원의 방정식 에서 중심과 반지름을 구해 내는 방법도 알 수가 있겠죠
예 아까는 전개를 했지만 이제 역으로 가는 겁니다 자 그러기 위해서는
우리는
완전 제고와 완전 제고 빛 꼴 얼마 요런 꼴로 바꿔야 되겠죠
따라서 팔아 얘는 xb 요렇게 한번 묶어 볼까요
그 다음에 y 끼리 묶어 보조 y 제고 플러스 by 플러스 c 이꼴
용인데
얘네들을 완전 제고 꼴로 만드는 방법도 이제 신물나게 해서 알고 있습니다
자 뭐라고 요구 반 의 제곱 요렇게 알고 있죠 그저 예
요렇게 되는거구요 그 다음에 4분의 a 제곱 이 빠져야 됩니다 다 알고
있죠
모르면 바보 그 다음에 이쪽은 뭐가 된 거야
얘는 뭐가 되냐 면화 이플러스 2분 lb 배제 고 - 4분의 b 제곱
요런식으로 정리가 되겠죠
그다음 쓰이는 그대로 있구요 결국 정리해주면 얘는 x 플러스 2분의 a
에 제곱 그다음 플라스 y 플라스 i 부 4
b 의 제곱이 꼴 넘어갑니다 자 그다음 4로 통 분 을 해주면 어떤 일이
벌어지는 야 a 제곱 이제 곡 - 4c 요렇게 되는걸 볼 수가 있죠
그렇죠 그래서 파 첫 번째 우리가 알아야 된건
2 요 쪽이 뭐가 똑같아야 되요 2 웁 영이 우변 2r 제곱과 똑같아야
되는데
그저 너 이 r 제곱 에서 알은 반지름 이기 때문에
반지름이 0 인걸 뭐 예전 인 점원이 다 그 청 점으로 나타내는 원이다
뭐 이렇게 표현했지만
1 반지름이 0인것은 원으로 앉힌다 이렇게 보시면 됩니다
그쵸 예 따라서 90 0보다 커야 되기 때문에 결국 이 우변 이 0보다
커야 되구요
결국 우리가 얻을 수 있는 건 뭐냐면 a 제곱 플러스 b 제곱 - 4c
가 0보다 커야 된다
요 조건이 있어야만 애가 원인이 되는 걸 볼 수가 있습니다
그저 예 그래서 먼저 얘 가 0보다 큰 지를 확인 하시구요
그게 0보다 큰 지가 확인 됐으면 끝났다 이 가 자 중심의 좌표는 얼마야
중심의 좌표는 - 2분의 a 콤마 - 2부 네비가 되는거구요
반지름은 뭐가 된다고 자 헷갈리지 말아야 돼
요놈이 r 제곱 이기 때문에 결국 반지름은 저놈 에 뭐가 돼야 돼 루츠
가 돼야 된다 라는 걸 우리가 볼 수가 있습니다
그렇죠 그래서 a 제곱 이즈 있고 - 씩 요렇게 된다 라는 것만
여러분이 알고 계시면 될 것 같아요 그쵸
자 이번 시간에 우리가 원인이 뭔지
그래서 그 원의 정의로부터 점들이 모여 있는 규칙성을 알아 했구요 그
규칙성 으로부터 원외 방정식의 표준형 을 끌어 냈습니다
그 다음 그걸 전개한 일반 여 다시 그 일반형 으로부터 중심과 반지름을
구해 내는 방법에 대해서 알아봤어요
별거 업적 그래서 여기까지 우리가 원 의 방정 쉽게 그저 도출 방법
요거를 알아보는 시간을 가져 가졌습니다 됐죠