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수학중독 | 원과 직선의 위치 관계

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이번 시간에는 원과 직선의 위치 관계 에 대해서 알아보겠습니다
원과 직선의 위치 관계 는요 결론부터 얘기하자면 3가지가 있어요
첫번째가 뭐냐면 원이 있는데 에 직선과 원 이렇게 만나지 않는 경우가
있구요
두번째 원과 직선이 정확히 한 점에서 만나는 경우가 있습니다
이런걸 우리가 다른 말로 접한다. 라고 얘기를 하죠
그 다음에 원과 직선이 부 점에서 만나는 경우가 있습니다
요렇게 세가지 경우 밖엔 없어요 자 그러면 우리가 이 각각의 경우에
대해서 어떻게 이 위치 관계를 파악할 것인지 우리가 두 가지 방법을 배워
볼 겁니다 자 그 첫 번째 방법은 실제로 원과 직선의 방정식을 열리 패서
그 열리 판 방정식 의 근이 몇 개냐 를 가지고 위치 관계를 파악하는
방법 입니다
자 어떤 식이 냐 면 예를 들어 뭐 이런 식 1 거 아니에요 원의 방정식
은 x - 예제 고
y - b 의 제곱은 r 제곱의 골을 거구요
그 다음에 직선의 방정식은 와인은 mx 플러스에 꼴이라고 우리가
가정을 해봅시다
자 그럼 바 2 이 원의 방정식 이나 직선의 방정식 모두다 어떤 걸
나타내 냐 면 바로 x 콤마 y 라는 점들이 어떤 규칙성을 가지고 모여
있느냐를 나타내는 시기 라고 했죠
즉 이 식을 만족하는 x 콤마 y 라는 것은 바로 이 원 위에 있는 점이
되구요
요 식을 만족하는 엑스코 마왕 이라는 것은 바로 이 직선 위에 있는 점이
됩니다
자 그렇다면 바 이 둘 다를 1
한꺼번에 만족시키는 x 콤마 y 가 있다면 그 놈은 원 위에도 있는
점이고 직선 위에도 있는 점이 되겠죠
즉 원과 직선의 교점 이 될겁니다
따라서 이 원과 직선의 교점을 구하기 위해서는 이 둘 다를 봉 시에
만족시키는 점을 구해야 되고요
그 얘기는 곧 이 두 개의 의 원의 방정식과 직선의 방정식을 열리 패서
문제를 풀면 된다는 거죠 즉 연립방정식 으로 문제를 해결할 수 있다 라는
얘기가 됩니다
이건 입니까 그럼 그 방법은 뭐냐
결국 요 와인은 mx 플러스 애니라는 요놈을 고대로 원의 방정식 의 y
에 가져다가 대입을 해 버리는 겁니다
그쵸 그게 바로 열이 파는 방법이죠 따라서 우리가 얻을 수 있는 식은
방정식은 x - a 의 제곱 프라스 y 대신에 누굴 은 다구요
바로 mx 프랑스의 늘 같단 없는겁니다
그저 예 요걸 잘 보셔야 돼요 결국은 요기 y 대신의 mx 플러스 n 을
갖다 놓는 겁니다 그렇죠
그다음 - 비에 제고 이꼴 r 제법 이렇게 된거죠
그럼 1 얘가 무지 하게 복잡한 시기 나오긴 하겠지만 결국 정리하면 뭐
같 왜냐면요 x 에 대한 2차 방정식이 될 거다 라는 얘기 입니다
그게 x 밖에는 없잖어 게다가 x 의 최고 창이 이창 이건 우리가 금방
알 수가 있겠죠
따라서 정리하면 애가 a x 의 제곱 플러스 bx 플러스 c 이꼴 영의
요런 형태의 100세 대한 2차 방정식이 나온다는 얘기지
그럼 보자 1 이 이차방정식의 그저 뭘 보는 거냐면 바로 판별 씩 뒤를
보는 겁니다
우린 판별 식에 대해서 이미 배워서 알고 있습니다
자 따라서 바라이 판별 시기 0보다 작다 라는 얘기는
실 근이 존재하지 않는다는 얘기 구요
결국 이 세계의 중에 이 방정식의 실 근이 존재하지 않는다는 것은 원과
직선의 교점을 이 존재하지 않는다라는 거니까
결국은 요놈이 바로 g 가 0보다 작은 경우에 해당된다 라는 걸 우리가
알 수가 있습니다
자 또한 요 이차방정식 판별 시기 0 이다 라는 얘기는 이 이차방정식
이중근 을 갖는다 는 뜻이고 즉 그 네 종류가 하나밖에 없다는 뜻이죠
예 그 얘기는 곧 이 원과 직선의 교점을 이미 하나밖에 없다는 뜻이
되고요
결국 이 가운데 원과 직선이 한 점에서 만나는 경우 즉 접하는 경우가
바로 판별 시기 꼴 0 에 해당되는 경우 달아나는 걸 우리가 알 수가
있죠 자 또한 판별 씩 기 가 0보다 크다 라는 것은 뭐냐면 2차
방정식이 서로 다른 두 실 그늘 갖는 경우를 얘기 하구요
결국은 교 점 이 두 개 서로 다른 교 점 이 두 개가 나온다 라는 걸
얘기하는 이 세 번째 그림의 해당된다는 것을 우리가 알 수가 있습니다
자 따라서 우리가 이 원과 직선의 위치 관계 를 파악하는 첫번째 방법은
원해 방정식과 직선의 방정식을 동시에 만족하는 점이 있느냐 없느냐
즉 이 둘을 서로 열리 패서 x 에 대한 2차 방정식을 만든 후에 이
이차방정식 의 판별 시기 0보다 작으면 원과 직선 만나지 않는다
영과 갇히면 원과 직선 은 단 한 점에서 맞는다 만난다 즉 접한다. 이런
뜻이고요
그다음 이자 방정식이 0보다 접한 별식 이 0보다 크면
서로 다른 두 근 즉 원과 직성이 서로 다른 두 점에서 만난다
요렇게 판단하시면 되겠습니다 배 점
예 그래서 우리는 판 변 식을 가지고
원과 직선의 위치 관계 를 파악할 수가 있습니다
물론 얘는 직접 교 점 의 좌표를 구한다. 라는 건 x 값을 구하는 거지만
우리는 위치 관계만 파악하면 되는 상황에서는 판별 식만 가지고 요 위치
관계를 파악할 수가 있다라는 거죠 됐죠
첫번째 방법입니다
작은데 보시면 알겠지만 이거 지금 선생님이 여기서 그냥 욜로 넘어오면서
아요 간단하게 네요 그래도 axle ipx8 쓰이는 용 이렇게 정리했지만
사실 이거 전기의 하면서 실수 할 확률이 거의 99.9% 고요
이게 보기보다 만만한 작업은 아닙니다
그래서 우리는 두 번째 방법을 알아야 됩니다
자 두번째 방법은 뭐냐면 봐 또 한번 드릴께요
원과 직선 어원이 점점 더 벌어지고 있습니다
그죠 역시 사람은 연습을 해야 돼
그냥
원과 직선 요 세개 줘 자 그럼 아기 3개의 특징은 뭐냐면 우리가 전 전
전 시간 쯤에
점과 직선 사이의 거리 에 대한 걸 배웠죠
그 얘기가 지금 왜 나오느냐 잘바 원의 중심에서
이직 선까지 의 거리를 우리가 이 3가지 경우에 대해서 한번 다 생각을
해보자 라는 겁니다
요렇게 그렇죠 그럼 바
뭐 길고 중간이고 짧고 이건데
이 길다 뭐 짧다 이거를 누굴 기준으로 생각할 거야 이 거야
그쵸 그 기준이 되는 놈이 바로 반지름 입니다 반지름
자 잘 밤 여기서 반지름 알은 요
요기에서 요만큼 이 반지를 말이죠
그럼 이 그림에서는 반지름이 요만큼 이 반지름 이고요
그 다음 이 그림에서는 반지름이 뭐 요구에 연장선이 있다라고 생각을
해본다면 이만큼 이 반지를 입니다
자 눈치빠른 학생들 벌써 선생님 무슨 얘기 할지 눈치챘을 겁니다
바 이 원의 중심에서 부터
직선 까지 의 거리를 우리가 deo 파란색으로 나타낸 게 전부다 d 구요
그 다음에 반지름의 길이를 당연히 알
왜 반지름을 r 로 쓰는 줄 알죠 예 영어로 웨이드 였습니다 그래서 아
를 쓰는 거예요
자 그럼 파 이 점과 중심에서 부터 직선 까지 의 거리 지가 누구 보다
크면 어 r 보다 크면 이야 이게 색깔 바꾸는 데 보통 일닙니다
이러면 뭐야 바로 원과 직선이 서로 만나지 않는다 라는 걸 볼 수가
있구요 당연히 우리가 합니다
이래서 예
머리를 이제 잔머리 를 쓰기 시작합니다 잡아 원 처 중심에서 직선 까지
의 거리와 반지름이 똑같다는 것은 결국 이 직선과 원 2
단 한 점에서 만난다 즉 접한다. 라는 뜻이 됩니다
ok 그다음 반지름 과 그 다음 중심에서 직선 까지 의 거리 중에
반지름이 더 크다면
예 직선과 원 은 서로 다른 두 점에서 만나게 된걸 우리가 파악할 수가
있는 거죠
따라서 앞쪽에서 배웠던 실제 직선의 방정식을 원해 방정식에 대입해서 x
에 대한 2차 방정식을 만드는 것보다는
요게 어떤 의미에서는 좀 더 쉽게 위치 관계를 파악할 수 있는 방법이
된다 라는 겁니다
ok 2 뭐 예언할 들어볼까요 예를 들어 x - el 제고 브라스 y -
1회 제곱은 있고 사라는 원이 있다라고 합시다 아 그 다음 와인은 ex
바인 어스 이라는 직선 있다라고 했을 때 이 원과 직선의 위치 관계 는
이 세 가지 중에 보겠느냐
나는 질문을 받았다고 합시다 그럼 우리는
원의 중심이 콤마 일인걸 알고 있구요
원의 반지름은 가 아니라 입니다 이거 조심하셔야 되요
아마 지금쯤 2절 2가 틀려 이러는데 에 바로 시험시간에 틀릴 사람은
여러분 바로 자신입니다 알겠죠
그래서 꼭 주의하셔야 되구요 그다음 요놈을 우리가 직선의 방정식을
정리해주면 요렇게 정리가 되는 걸 볼 수가 없겠죠
자 따라서 우리는 파 요 툴 여기에 우리가 다시 한번 적어 볼까요
이 콤마 일과 ex - y - 일이 꼴 용 요 둘 사이의 거리와 반지름이
애 대소 관계 만 비교하시면 됩니다
자 그럼 갑니다 공식을 외우고 있죠 자지 이라는 롬은 루트 x 의 개수에
제고 프라 스와 이 개수의 제곱 분해 의 그 정 부 내가 이렇게 또
삐뚤어 주니까 자 이거 분해에 그나마 요기 절대 값 x 대신에 이
2555 x 좌표를 같단 입니다 그럼 - y 대신에요 좌표를 갔다는
저 1 - 1
요렇게 되는 겁니다 그렇죠 그럼 이름은 루트 우 분의 이가 되는걸 볼
수가 있구요
a 니꼴 입니다
자 그럼 바 이 하고 누트 운에 이 중에 누가 더 작게 냐 이 거야
당연히 앓이 라는 법은 지혜의 다가 루트 5배를 해줘야 돼 루트 오베 d
가 아니니까
당연히 누가 더 큰 거야 알이 d 보다 더 크죠
그러면 그림을 그려보자 말이야
반지름이 더 커 뭐 보다 직선 까지 의 거리보다 그새 그럼 얘는 뭐야 아
서로 다른 두 점에서 만나는 위치 관계에 있구나 라는걸 우리가 알아낼
수가 있다라는 겁니다
배 점 어렵지 않습니다 오케이
자 그래서 두번째 방법은 뭐냐면 중심에서 부터 직선 까지 의 거리와 그
원의 반지름의 대소 관계로부터 우리가 원과 직선 상에 위치 관계를 알아
낼 수 있다는걸 꼭 기억해 주셔야 되요
자 이번 시간에 우리 두 가지 방법 되었습니다 예 방 정원의 방정식과
직선의 방정식을 열리 파는 방법과 단순히 원의 중심에서 부터 직선 까지
의 거리와 반지름을 비교해서 위치 관계를 파악하는 것도 이 두가지 모두다
중요하기 때문에 여러분들 꼭 기억하셔야 됩니다
참고로 말씀드리면 선생님은 열리 파는 것보다는 2
직선 까지 의 거의 중심에서 요걸 이용해서 위치 관계를 파악하는 것을 더
좋아합니다
궁금해 할 것 같아서 이렇게 됐죠

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