수학중독 두 원의 교점을 지나는 또 다른 원의 방정식 > 중학교수학

 

두 원의 교점을 지나는 또 다른 원외 방정식의 대해서 알아보겠습니다
자 예를 들어 우리가 두 원의 방정식 2 이렇게 있다라고 한번 생각을
해보죠
by 플러스 쓰이는 0 이구요 그다음 또 하나는 x 제곱 플러스 와이즈
고플렉스 tex 플러스 ey 플러스에 프로 니꼴 0입니다
자 이번 시간에 우리가 볼 것은 2 원 의 교점을 지나가는 또 다른 원의
방정식 이니까
이두원 이 서로 초점을 갖는 위치 관계에 있다라고 가정을 한번 해보죠
요런식으로 요렇게 그 정 그러면 두 원의 교점을 가는 거니까
요 교점을 지나가는 거니까 요렇게 두 개의 의부 점 을 지나가는 예 하고
애가 아닌 또 다른 원해 방정식을 구하자
이게 우리의 목적입니다 그럼 우리가 생각할 수 있겠지 그 직파 요놈 과
반지름의 길이가 똑같은거 하나요 쪽에 이렇게 생길수가 있다는거 우리가
충분히 상상할 수가 있겠죠 요렇게 그지
근데 이거 말고도 요 어 얼마든지 다른 원의 방정식 을 구할수가 있습니다
예를 들면 이거 말고도 이것보다 더 큰 그래서 요렇게 그린다면 이렇게 더
큰 원도 그리는게 가능하겠죠
그래서 이렇게 두 원의 교점을 지나가는 또 다른 원해 방정식은 어떻게
구하는가 크게 이제 이번 시간에 우리가 배워야 될 내용입니다
자 그런데 우리가 모래 썼냐 하면 직선의 방정식 공부할 때
직선과 직선의 교점을 지나가는 또 다른 직선의 방정식 그 어떻게 있었죠
우리가 이렇게 썼습니다 직선 일에 방정식을 엮다 쓰고 플라스 실수 k 베
직선이 이 방정식을 엮다 쓰는 거죠
그리고 이 꼴 0 이런식으로 우리가 표현했던 것 기억할 겁니다
그저 그대 애가 똑같이 이번 시간에도 적용이 됩니다
자 예를 들면 보세요 만약에 우리가
요 교점 의 좌표를 피코 마크 였다고 한번 생각을 해보도록 하죠
이교 점의 좌표는 피코 맞추다 자 그게 뭐냐면 이 두개의 원이 모두다 p
콤마 q 를 지나 간다 란 얘기가 됩니다
그 정 그러면 결국 p 제고 플라스 q 제곱 플러스 ap 플러스 pq
플러스 씨도 0이 되어야 되고요
p 제곱 플러스 q 제고 플러스 dp 플러스 eq 파스 f 도 0이
되어야 된다 왜
2p 콤마 q 라는 점 e1 위에도 있어야 되고 이원 위에도 있어야 되기
때문에 이 두 개의 원의 방정식 의 x 와 의 대신에 피트 를 대입하면
모두 다 있 꼴 경희대 즉 방정식이 성립되어야 된다 라는 거죠 자 그러면
이러한 상황에서 우리가 식 써레 방정식에서 처럼 똑같이 어떻게 써볼
거냐면 요렇게 쓸겁니다 x 제곱 플러스 y 제곱 플러스 ax 프랑스 피와
2+2 바로 받고 플라스 실수 k 베 x 제곱 플러스 y 제곱 플러스
dx 플러스 ey 플러스 f2 꼴 영이라고 한번 썩어져
자 그럼 부장 얘가 아직 음모 을 나타내는 g
이놈의 그래프를 그리면 어떤 도용이 나올지는 아직 모른다고 가정을
해봅시다
아직 모르지만 우리가 확실하게 한 알 수 있는 것은요
얘가 나타내는 예 그래프가 나타내는 그도 영도 전 p 콤마 큐를 지 간다
라는 것을 우리가 알 수가 있습니다
왜 바 이 시계 xy 대신에 p 콤마 q 를 대입하면 요 요 룸이
0이 되는 걸 볼 수가 있죠 그 전 요 놈도 있고 0이 되고 요 요 놈도
있고 0이 됩니다 이렇게 보시면 여기도 이끌 염 되는거죠 때문에
그러면 k 값에 관계없이 얘도 0 되고 얘도 0 되니까 결국 이 등식이
성립할 서 방정식이 을 만족한다. 방정식 등심을 만족한다. 누가
피코 막 추가 이렇게 될겁니다 결과적으로 얘는 피코 마 큐를 지나가게
된다 라는 걸 우리가 알 수가 있는 거죠 자 그러면 밤 애가 나타내는 게
뭔지 만 우리가 박혀 내면 되는 겁니다 그렇죠
자 그럼 보자
요놈을 우리가 정리를 해보도록 하죠 이름을 정리하면 뭐가 되냐 하면
1+ 케이의 x 제곱 이 되구요
플러스 1 파스 케이의 와이즈 보기 되구요
플라스 a+ kb x 가 되고요
플라 스피 파스 key 가 되고
플러스 c 플러스 kf 있고 올 0이 된다
나는 걸 우리가 볼 수가 있는 거지 그치
자 그런데 밤 일방
만약에 케이가 - 일니라면 조금 예 민영니니까
양변을 우리가 k+ 일로 나눠 줄 수가 있습니다
자 그럼 뭐가 되냐 하면 팔아 x 제거 플러스 y 제곱 플러스 1+ k
분의 apr sk dx 가 되구요
플러스 1 파스케이프 늬 비프 라스 key 가 되는 거고 플러스 1
프라스 케이프 c 플러스 kf 이꼴 0이 되는 겁니다
됐죠 이거 우리가 어디서 많이 보던 것 안 말이야 이 오게 오서가 냐하면
원외 방정식의 일반형 껄 우리 배워 썼죠
ax 파스 py 파스 c 이꼴 경
요렇게 주어지고 요때 a 제고 플라스 p 제고 - 4c 가 0보다 크다
나 요 조건만 만족하면 이해를 얘는 원 을 나타내는 원외 방정식 의 1
반영이 된다 라고 배웠습니다
그렇죠 그런데 지금 요놈을 정리한 요 럼 이따요 일반형 의 형태를 띠고
있다라는 걸 우리가 볼 수가 있습니다
자 예를 들어서 이걸 통째로 우리가 뭐라고 볼까요 이걸 통째로 나주에
일하고 먹고 얘를 통째로 라주 비라고 놓고 얘를 통째로 라주 씨라고 났을
때 이 abc 가 이 관계만 만족시킨다 면이 부등식 만 만족시킨 다면
얘는 뭘 방정식이 된다는 걸 알 수가 있죠
자 그럼 하라 얘가 원의 방정식 2 되는데 이미 우리가 이 놈이 p 콤마
q 를 지나 가는 법이다 라는 걸 알고 있습니다
자 따라서 우리가 무슨 결론을 내릴 수가 있냐 하면 아 요 놈은 요런
p 콤마 쿨을 지나가는 워 내 방정식이 된다 라는 걸 알 수가 있는 거죠
근데 잎이 콤마 q 가 뭐야 바로 투 원 해 줘 점이 없기 때문에
결과적으로 이해가 나타내는 게 두 원의 교점을 지나가는 원의 방정식 2
된다 라는 걸 볼 수가 있는 겁니다
그쵸 짝 다만 다만 우리가 또 다른 이라는 표현을 써 짠 아
즉 얘도 아니고 얘도 애초에 이 놈도 아니고 이놈도 아닌 또 다른 원의
방정식을 우리가 딱 찝어서 얘기를 했기 때문에 이때 k 가 봐
영의 되어버리면 요 요게 그냥 다영이 돼버리고 도 그런 남는건 요런 만
남습니다 예의 꼴 0 이기 때문에 그때는 그냥 요 위에 놓 즉 요원의
방정식이 나와 버린다 라는 거지
따라서 우리가 또 다른 원이라고 특정 을 했다면 케이맨 0니다
라고까지 조건을 주는게 맞습니다
자 그렇지만 k 가 0일 때 라고 하더라도 여하튼 두 원의 교점을
지나가는 원이 된 건 맞다 가능 거야 그래서 고 것만 기억하시면 됩니다
알겠죠 그래서 k 가 - 일닌 경우에 우리가 위에서 봤던 그 뭐예요
원의 방정식 1 + 케이브 의원의 방정식 2 그제 이꼴 영이라는 그
방정식은
에 교점을 지나가는 원의 방정식 있다는걸 꼭 기억하시면 될것 같습니다
물론 그점 요런 조건을 만족한다.는 가정하에 그렇습니다
오케이 자 그러면 바 케이가 만약에 그러면 - 일임을 어떤 일이 벌어질
거니까 케이가 - 1인 경우
자 케이가 - 1인 경우에는요 잘 보세요
x 제곱 플러스 y 제곱 플러스 ax 프랑스 by 플러스 c 가 있는데
자케 입에 두번째 원의 방정식 1 거 아니야
근데 케이가 - 일이니까 그대로 그냥 빼는 꼬리 되겠죠 그래서 gx -
2y - f 이꼴 0
요렇게 됩니다 자 그러면 이 거라 x 제고와 이 제곱은 싹다 없어지는 걸
볼 수가 있구요
그 다음에 얘는 a - dx 파스 b - 2y
파스 쓰인 - feel 0이다 나면 시기 되는 거죠
어 근데 이러면 또 뭐냐면요 이놈은 우리가 알고 있습니다 아 이건 직선의
방정식 안에 직선의 방정식
그쵸 예 게다가 이 직선의 방정식은 요 팡
요시 게다가 p 콤마 q 를 넣으면 얘도 0 되구요
얘도 0이 되는 걸 우리가 위에서 확인했기 때문에
이놈은 어찌됐던 또 어디를 지나가는 이름 역시 p 콤마 큐를 지나가는
거미 된단 말이야 그런데 그걸 정리한 게이 놈이니까 얘도 피코 마 큐를
지나가는 거구요
어 얘는 보니까 직선의 방정식 2 결과적으로 우리가 얻을 수 있는
거다 케이가 - 1 때에는 부원 의 교점을 지나는 직선의 방정식의
되는구나
나는 걸 우리가 알 수가 있는 겁니다 그래서 봐 그림을 그려서 우리가
대충 살펴 보면요
원과 원이 이렇게 이렇게 만나고 있을 때 두 원의 교점 은 여기 두 개가
나올 거 구요 그점 이 두 원의 교점을 지나는 직선 이란건 바로 이런
직선을 얘기합니다
그렇죠 그래서 k 가 - 이럴 때는 두 원의 교점을 지나가는 직성이
나온다 이렇게 보시면 되요
그지 그 예를 들어 이 두개가 왜 접하고 있다 라고 한다.면 이 두 원의
교점을 지나는 직선 이라는 것은 바로 요점을 지나가는 직선 이니까 요렇게
될거구요
이 롬은 바로 두 원의 공통 접선 중 하나를 나타내게 됩니다
이해가 됩니까 고렇게 보시면 되요 어찌됐든 애가 한 점 에서 만났던 두
점에서 만나든 요게 케이가 - 익으면 우리한테 그 우리가 봤던 그 뭐야
방정식 이란 것은 두 원의 교점을 지나가는 직성이 된다는 거구요
우리가 여기서 부터 여기까지만 본다면 이해가 뭐가 되냐 하면 이게 원래
현이 됩니다
요런 미원 외 도현이 되고요 이원 외에도 현이 됩니다
그래서요 럼을 우리가 뭐라고 부르냐 면 공통 형이라고 부르는 거죠
자의 원과 의원의 공통적인 형이다 이런 뜻입니다
그래서 이렇게 원 이 두 점에서 만날 경우 케이가 - 1인 경우 려
우리가 흔히 또 뭐 라고 부르기도 하냐면 바로 공통 현 의 방정식 이다
공통 연의 방정식 따 이렇게 부릅니다
누구를 이해를 이해를 그지
이렇게 된겁니다 됐죠 자 기억하세요 여러분들
그래서 자 갑니다 최종적으로 우리가 내릴 수 있는 결론은 결국 x 제곱
플러스 y 제곱 플러스 a x 플러스 피와 2+ ca 2+ k 베어 x
제곱 플러스 y 제곱 플러스 tx 플러스 ay 플러스 f2 꼴 영이라는
요 방정식은
게이가 - 일닐 때는 원 을 나타내는데 어떤 원이 되냐면 바로 이
원과 애가 나타내는 원과 애가 나타내는 원의 조 점을 지나가는 또 다른
원의 방정식 2 되고요
물론 k 가 0닌 됩니다 그건 아빠 설명 드렸죠
그리고 케이가 - 일닌 다른 값을 가졌을 때 정리 했을 때 반지름은
0보다 커야 되겠죠 그래서 반드시 미국보다 커질 때 만원이 된다 라는 것
꼭 기억하시고 요 그 다음에 케이가 - 길이 되면은 요놈은 이 원과 이
원 의 교점을 지나는 직선이 된다는것 꼭 기억해 주시면 될 것 같습니다
됐죠 여러분의 이해를 돕기 위해서 간단하게 영상을 준비했습니다 자 보시면
지금 x 제곱 플러스 y 제법 은 꼴 사 라는 원이 있구요 그다음 x -
3회 재고 플러스 y 제곱 은 구라는 원이 있는 겁니다
따라서 요 세 번째 여기 우리가 방금 배웠던 거죠 그래서 원의 방정식 1
+ k 베어 원의 방정식 2 있고 의 명
이렇게 된겁니다 따라서 요 녹색 원이 나타낸 것은 바로 2 원 외에 그
점 을 지나는 또 다른 원해 방정식이 되는 겁니다
그래서 우리가 k 값을 - 3 부터 3까지 한번 변화시키면서 보도록
할까요
바 2 k 값을 변화시키면 이런식으로 요렇게 그 정
원의 모양이 바뀌지만 계속해서 두 원의 교점을 지나가는 것을 볼 수가
있습니다 그쵸
그래서 이렇게 계속 크게 바뀌 다가 잘 보세요 k 가 딱 - 일이 되는
수만 뭐가 되어 두 원의 교점을 지나가는 직선의 방정식 2 나온 걸 볼
수가 있습니다
맞죠 예 그 다음엔 이렇게 키 값이 더 이렇게 커진 - 보다 커지면 이제
방향이 바뀌어서 이쪽에서 이렇게 원이 생기는 것을 우리가 볼 수가
있습니다
그리고 k 가 0일 때는 딱 요 왼쪽 그저 왼쪽에 있는 원과 일치하는
원이 나오겠죠
그래서 또 다른 원 이라고 표현을 한다.면 k 가 0인 경우는 제외 시켜라
그래서 이런 얘기를 했던 겁니다
그냥 그렇지만 여전히 이 원도 두 원의 교점을 지나가는 원이 된 건
맞습니다
그 다음에 또 이 더 커지면 이런 식으로 여러 5개 되는걸 볼 수가
있겠네요 그저 그래서 이렇게 됐건 볼 수가 있습니다
어때요 그림으로 보니까 좀 이해가 뒤에 도움이 되셨나요
자 마지막으로 여러분이 그저 아주 자 부드럽게 움직이는 아름다운 그림을
보면서 영상을 마치도록 하겠습니다