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수학중독 | 부등식의 영역

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수학중독님의 중학교수학강의 청각장애인을 위한 자막
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이번 시간에는 부등식 의 영역에 대해서 알아보도록 하죠
우리가 지금까지 직선이 나 원의 방정식 을 배웠습니다
자 예를 들어 와 있는 x 플러스 일이라는 것은
ex 콤마 y 라는 점들이 x 에다가 1을 더하면 y 가 된다 라는
규칙성을 갖고 모여있을 때 하나의 직선이 되는 그런 규칙성을 보여 주는
식이 바로 이러한 직선의 방정식 이다 라고 말씀드렸죠
뭐 혹은 원 도 마찬가지입니다 x 제곱을 아스와 이 제곱은 이 꼴 사
달하는 것은 무슨 뜻이냐 하면 ex 콤마 y 라는 점이 뭐 구체적인
의미는 원점 으로부터의 거리가 2인 점들을 다보았다 하지만 눈에 보인
대로 보자면 x 좌표 의 제곱과 y 좌표 의 제곱이 더해서 사가 되는
그런 정 들에 그 모인 즉 그런 규칙성을 갖는 점들을 다 모아 놓고 나면
원이 된다 이런 뜻이 였죠
자 그러면 이번 시간에 배울 이 부등식의 영역 이라는 것은 뭐냐면
예를 들어 봐 y 가 x 플러스 1보다 크다 나는 것은 우리가 어떻게
생각할 수 있느냐
이걸 공부할 거에요 자살 바 예를 들어 우리가 와 있는 x 플러스
일이라는 그래프는 쉽게 그릴 수 가 있습니다
뭐 이런식으로 이렇게 그릴 수가 있겠죠 그래서 요놈이 y 는 x 플러스
일인데
자 이게 등 5엽 따라 는 얘기는 이러한 규칙성을 갖는 점들을 주루 다
모아놓으면 바로 뭐가 되냐
요 직선이 된다 라는 의미 잖아요 근데 우리가 지금 공부해야 될 건 바로
이런 식으로 부등식의 된다는 거야 그러면 이것도 똑같이 생각할 수 있지
않겠냐 라는 거지
어떻게 생각하면 되냐 하면 요 다 이론도 x 콤마 y 라는 점들의
모임인데
그 점이 이러한 부등식을 만족시키는 점들이 거야
즉 아까는 증오 였지만 지금은 부등호 로 바뀌었을 뿐 이죠
그러면 이걸 만족하는 점들은 어떤 점들이 냐
자 예를 들어 봐 0 콘 마이가 있다라고 칩 싸
0 콤마 이는 여기가 0 콤마 일이니까 여기쯤 이영 콤마 2가 되겠죠
그러면 0 콤마 이를 욕 부등식의 x 좌표 대신 0
y 좌표 대신 이를 갔다가는 야 이는 0+ 1
즉 2는 1보다 크기 때문에 부등식을 만족시킨다 라는 거지 아 그러면
우리는 0 콤마 이가희 부등식을 만족시키는 점이 구나
자 그러면
이영 콤마 이처럼 이 부등식을 만족시키는 모든 점들을 다 찾아내서 찍으면
되겠구나
그게 바로 이 부등식 이 나타내는 00 없겠구나
이렇게 볼 수가 있는 겁니다 자 왜 영역이란 얘기를 썼는지는 금방 알
수가 있어요
예를 들면 - 2 콤마 모모 효과 - 2 콤마 0
이런 것 한번 해볼까요 그저 그러면 - 2 콤마 0이면 0 - 2 플러스
일이니까
역시 부등식을 만족시키지 요 즉 - 2 콤마 영도 이렇게 우리가 부등식을
만족시키는 처음이니까 찍어 볼 수가 있다 이겁니다
그럼 - 잃고 만 - 이를 어떨까요 여기다 - 159 여부다 - 이르면
어떻게 됩니까
- 콤마 - 일은 아역이 있는 점인데 얘는 부등식을 만족시키지 않아요
이렇게 되는거니까 그지 그래서 이런 점들은 우리가 찾는 점 니다
라는걸 알 수가 있습니다
그쵸 그래서 이거 바 이 부등식을 만족시키는 점들을 다 찾아 내고 나면
놀랍게도 요 직성이 있잖아요
그저 요 직선의 어느쪽 요렇게 그림이 될 봐요 잘 칠 해야 되는데요
직선을 경계로 요 위쪽에 있는 요 영역은 전부다 이 부등식을 만족시키는
점들이 지키는 영역이 되는 겁니다 즉 이 영역에서 어떠한 점을 골라서
부등식의 베이 패도 부 등식이 성립한다. 라는 거지
그지 그래서 여러분셔야 될게 있어요
이 부등식의 영역 이라는 것은 그 저희 우리가 이퀄 즉 등식을 봤을 때
y 는 x 파스 이라는 요 직선을 경계로 이게 이제 경계선이 된거 야
2개의 중에 그 j 경계선에 의해서 영역이 두군데로 많이 줘 그 두 개의
의 영역 중에 한군데만 얘기 하게 되는데 그 한군데를 찾기 위해서는 아까
우리가 해왔던 것처럼 예를 들어 0 콤마 이라는 점을 넣어 봤더니 어프
등식이 만족 되더라
근데 보니까 예를 경계로 이 직선을 경계로 그 점이 이 직선의 위쪽에
찍히는 걸 봤으면 더 이상 우리가 에 확인해 볼 필요가 없는 거야 다른
점들은 왜 이 경계선을 중심으로 위쪽 영역 즉 0 콤마 2 가 속해있는
모든 영역이 2부 등식이 나타내는 영역이다 이렇게 가시면 됩니다
이해가 됩니까 간단하죠 자 그러면 봐
우리가 원 외에 대해서도 한번 얘기를 해봅시다
예를 들어 x 의 제곱 플러스 y 제곱 2
보다 작다
라고 한다.면 어떻게 된 거야 그 즉 그럼 방 그리세요
누구를 그러냐면 이 이퀄 경계선을 그리 져야 됩니다
y 제곱 이퀄 이렇게 그지
얘가 이코 릴 때가 경계선이 된다 그랬습니다 그래서 경계선을 이렇게
그리고 나면 그제야 물론 여기가 이고 여기에 - 2
그냥 반지름이 이니까 이렇게 되겠죠 그 다음에 이 원 에 의해서 전체의
평면이 두 개의 영역으로 가 아니죠
이 원을 경계선으로 원의 안쪽과 원외 바깥쪽 두근대 로 나뉘는데
우리는 젊 하나만 찾으면 된다고 했습니다
그러면 그 점을 우리가 0 콤마 영이라고 한번 가정해 보자 가 끄면 0
콤마 영을 요 부등식 의 대입을 해보는 거지
그랬더니 0 + 영은사 보다 작다
5 만족이 뱉어라 이바구 등식을 만족하다 이 거지
그러면 개를 만족하는 접은 0 홈 마 0 인데 애가 부등식을 만족해
쓰니까
이 원을 경계선으로 나뉘어진 2개의 의 영역 중에 이 용 콤마 영이
포함된 영역 즉 이 원의 안쪽 영역이 우리가 찾는 영역 부 측 부등식 의
영역이 된다 라는 것을 알 수가 있는 겁니다 이해가 되십니까 간단해서
자 그럼 방 만약에 이 부등식 2
이렇게 주어졌다면 어떻게 될까요
이렇게 주어졌다면 이렇게 주어졌다면 바
이런 상황에서 우리가 영혼 마 형을 이 부등식의 대입해보면
0 + 0 2 보다 크지 앙크 등 즉 부등식을 만족하지 않는단 말이야
그러면 와 원점을 포함하는 영역 층이 원 에 의해서 나뉘어진 두 영역
중에 1.22 부등식을 만족시키지 못하기 때문에 이 부등식 의 영역
가리키는 영역은 원점을 포함하지 않는 이 바깥쪽 영역이 될 거다 라는
겁니다 그래서 요렇게 원 내외의 부가된 것을 우리가 확인할 수가 있어
요렇게 그지
그래서 얘는 원의 바깥쪽 영역이다 이렇게 보실수가 있습니다 이건 색깔 7
할까요 말까요 아이 겟
새 까칠한 거 생략 책이 왜 이렇게 보면 됩니다
됐죠 음 자 그럼 바
여기 두 군데 전부다 지금 등 어가 없어요
등 오라는 것은 어디를 가리킨 야 하냐면 요원 위에 있는 점들을 나타낸다
고 했죠
따라서 드 모 가 없이 보다 작다 라고 되어있으면 원 의 내부 이기는
한데 이 1b 에 있는 점들은 포함하지 않아요
즉 경계에서 는 포함하지 않는다 이렇게 되기 때문에 대개 이런 경우에는
영역을 그릴 때 얘를 실선으로 그리는게 아니라 이 원을 이렇게 점선으로
그려서 표현을 합니다 이렇게 그지
이렇게 하고 안쪽만 요렇게 파랗게 칠해주면 아이 부등식의 영역 e 원의
내부 이긴한데 경계에서 는 포함하지 않는구나 이런걸 알 수가 있어요
그림 당연히 애가 실선으로 그려지게 되면 그저 에 여기에 등 고가 분
누구나 라는걸 알 수가 있습니다
그래서 등 5 가 붙을 때와 안 붙을 때 이 경계선이 포함 되는지
안되는지를 우리가 확인할 수가 있는 거죠 그렇죠
그럼 아까 직선 에서도 마찬가지입니다
이것도 사실은 예를 지금 실선으로 그림은 안 되는 상황이에요 왜냐하면
억이 증오가 없기 때문에 그래서 우리는 요기를 점선으로 그려져야 됩니다
이렇게 지워버리고 정확하게 말해서 는 이렇게 점선으로 그리면 아 직선
위에 있는 점들은 포함하지 않으면서 위쪽 직선의 위쪽 영영이 되겠구나
이렇게 볼 수 있는거예요 됐죠 그럼 뭐 우리 하나 더 해봐 이렇게 되면
어떻게 된 거야
x 플러스 이다 그럼 요 쪽에 그려보면 우리가
y 는 x 파스 일단 드오 일대를 그리구요
그 다음에 얘는 들고 까지 들어가 쓰니까 예 경계선 포함 하니까 실선으로
그린 후에 그 다음에 아까랑 반대죠
그러면 크다 가위 쪽을 가리켰다 면 작가는 아래 쪽을 가리키는 거니까요
직선을 중심으로 요 아래쪽 영역을 우리가 이렇게 표시하시면 요부 등식이
나타내는 영역이 되는 겁니다 그저 예 배추
대충 그렇지 말자 그래도 되겠어 싹 칠해 놓으면 이쁘더라구요
그죠 됐죠 이렇게 된겁니다
아무것도 없습니다 오케이 자 그럼 방
이게 이제 기본적인 부등식의 관한 얘기 였구요
연립 부등식 이라는게 있습니다
이 연립 부등식을 뭐냐면 말그대로 두개가 같이 있는 부등식 이야
아 y 의 제고와 와인을 xg 것보다 크다 이거 해봐
y 는 x 제 것보다 크고 x 의 제곱 카스 y 제곱 은 예를 들어 후
보다 작거나 같다 이렇게 돼 있다면 그 j 잡아라
얘는 이 둘을 동시에 만족시키는 영역을 구하면 되어
그저 근데 y 는 x 제곱 에서 이 등 우 가 포함되어 있지 않기 때문에
예를 들어 오니까 대출 그립시다 아 y 는 x 제곱 의 그래프를 이렇게
점성 으로 대충 그런 오면 이런 식이 될 거구요
맞죠 그 다음에 액스 제부 prs y 제곱 2 콜 굴을 울어야 될지 꼴
9 항상 드 무 일 때가 경계선이 된다 그랬어요
그럼 얘는 반지름이 3 인원 이니까 대충 이런식으로 그려집니다
그저 자 그럼 파 우리 아까 봤습니다
요렇게 애가 9 보다 작거나 같다 라는 것은
원점 으로부터의 거리가 3 보다 작거나 같은 점들을 모아 놓은 거니까
원의 내부가 되겠죠
따라서 애가 만족시키는 영역은 원의 내부 구요
그 다음에 교부 등식이 만족시키는 영역 제일 만만한 점을 하나 넣어
봅시다
예를 들어 요점을 넣어 볼까요 0 콤마 3을 여기다 대입을 해보면 어떻게
됩니까
3 2 0 의 제곱 보다는 그저 왜냐하면 x 대신 0
와이드 인삼이니까 금영 콤마 322 부등식을 만족시키기 때문에 요
점선으로 표시된 경계선 즉 y 는 x 제곱 을 막 경계선으로 1
위쪽 영역이 우리가 찾는 영역인 거죠
따라서 이 경우에는 원의 내부 이면서 동시에 요 곡선의 위쪽 영역
어디에요
바로 요기가 되는겁니다 여기가 그저 요거 그래서 이렇게 그러면 그림만
가지고서도 아아 y 는 x 제곱 보다는 큰 쪽이 구나
그저 예 그렇지만 들어오던 없구나 점선 이기 때문에 그리고 원해 안쪽이
구나
그리고 드 모도 포함된 구나 이런걸 우리가 금방 알아낼 수가 있게 되는
겁니다 됐죠
아주 간단합니다 비치 에 그런 방 하나만 더 해 봅시다
예를 들면 우리가 뭐 연립 부등식 에서 와인은 으
뭐가 있을까요 예 y 는
- x 프라스 2 뭐 요렇게 한번 해볼까요
예 요동과 그 다음에 와인은 어떻게 할까
요건 작다 아 였으니까 이건 뭐 크다 뭐 이렇게 한번 해볼까요
크거나 같다 뭐라 그럴까요 오늘 x 의 제곱 뭐 이렇게 한 것 요 두개를
모두 만족시키는 즉 연립방정식 이니까 우리가 이렇게 한번 써볼까요 요
두개를 동시에 만족시키는 영역이 어디 있겠느냐 라는 걸 물어보면
간단합니다 자 원부터 아원 이었군요 y 는 x 제곱 부터 걸어볼까요 y
는 x 의 법은 요렇게 그리시면 됩니다
그렇죠 그 다음에 아까 해봐서 알겠지만 대게와 아이가 크면 은 예를 정
개선으로 위쪽을 얘기합니다
그 정말 맞는지 보려면 제일 만만한 점 경우 콤마 일 하나를 대입해 보면
되겠죠
따라서 일은 0보다 크거나 같기 때문에 에 요 경계에 선 을 중심으로
위쪽 영역이 된다 라는 걸 우리가 볼 수가 있어요
그 다음에 와인은 - x 플러스 있는 어디 아 요기 요기 쯤에 있겠네
그제 예를 중심으로 우리가 이렇게 그리면 되겠네요 그죠 예 기울기가 -
2 링 직선 입니까 대충 이런식으로 그려질 겁니다
너무 너무 이상하게 그러나 어쨌든 이렇게 점선으로 우리가 직선을 표현할
수가 있겠죠 그럼 생각을 해보자
이 직선 보다는 어느 쪽이 겠어 자영 콤마 0 넣어봐
0 코 마음에 부등식 만족 되니까 0 코마 영이 0이죠 그러면요 직선을
경계로 아래쪽 영역 이구요
얘는 에 곡선의 경계로 위쪽 영역이 니까 우리가 찾는 영역은 바로 요기가
된 것을 볼 수가 있습니다 이렇게 된거죠
됐죠 얼마든지 우리가 그리 열이 부등식 계속 방정식 하고 있네요 까지 에
연립 부등식의 영역 그저 열리 부등식의 영역 또 구해낼 수가 있습니다
됐죠 어렵지 않습니다 자 이렇게 해서 우리가 오늘 간단하게
부등식의 영역 에 대해서 알아 봤구요 어떤 식으로 그 부등식의 만족하는
영역을 찾아내는지 알아봤습니다 크게 어려운 내용 아니니까 여러분들의 쉽게
이해할 수 있을 거라고 생각됩니다

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