수학중독 인수분해1 > 중학교수학

 

자 곱셈 공식 과 더불어 1 수분 에는 수 학원에서 아니 수와 원이
아니라 고등학교 수학 전반에 걸쳐서 마치 구단과 같은 존재입니다
그저 우리가 초등학교에서 구구단을 모르고는 수확을 할 수 없었듯이 2
고등학교 수학 에서는 인수 분해를 모르고서는 더 이상 진도를 나갈 수
없다 라고 말해도 과언니에요 그 정도로 여러 군데에서 많이 쓰이는
방법입니다
여러분들 이인수 분 의 공식은 지난번에 언급했던 뭐 야크 곱셈 공식 의
역과 정의 라고 했죠
역으로 가는 과정을 우리가 일쑤 분해 라고 하는데 쉽게 말하면 이런거요
아주 간단히 예를 들어본다면 자 ma - mb 라는 요러한 시기 있다고
합시다
얘네들은 쉽게 말하면 예 단 항 드리죠
그 정 단 항 들에 뺄셈 혹은 덧셈 이어도 상관은 없습니다
뭐 이렇게 써 볼까요 그래서 한글의 덧셈 이나 뺄셈 으로 표현 되요 놈을
우리가 애무로 묶어 주게 되면 af 라스 - 비가 되는 거죠 그래서 여기
보시다시피 잘 밤 요기 m 이라는 몸과 그 다음에 요기 am 오프 라스
- b 라는 요 투 놈의 곱셈 으로서 표현이 됐다 이 거야 그래서 우리가
이렇게 덧셈 이나 뺄셈 으로 연결된 식을 어떤 놈들에 곱셈 으로만
표현하는 방법
요것을 우리가 인수 분해 다 라고 부르게 됩니다
그럼 이름이 왜 인수분해 냐 우리가 요놈 각각 을 누구의 바로 이놈 의
인수 다 이렇게 말을 하기 때문에 그래요 그래서 얘네들은 인수 인수
이렇게 되는 겁니다 그렇죠 그래서 인수 라는 것은 결국은 뭐냐면 뭐
약수의 개념과 비슷한 거예요
그저 예를 들어 이 거잖아 a 곱하기 b 가 쓰이며 는 a 와 b 는 c
에 약수가 되는거고
c 는 a b 의 배수가 되는 거와 마찬가지로
요놈이 요 뭐 누구 곱하기 누구로 표현됐다 라면 요 두 놈은 이놈의 인수
다 이렇게 얘기합니다
따라서 인수 들로 만 분해를 한다.해서 일쑤 분해가 되는 겁니다 됐죠
오케이 그래서 개념 자체를 은 절대 어려운 개념니에요
그런데 막상 이 인수분해 를 다 장 어려워 하더라 입어야 수학을 이제 자
내가 이제 고등학생이 됐으니까 수학 점 한번 공부해 볼까
나는 수포자 가 될 수가 없어 라고 마음을 먹고 인수분해 를 만나는 순간
거의 반이 수학을 포기 해요 그 정도로 이 인수 분해 가 어렵다 기보다는
연습을 오래해서 익숙해지지 않으면 어렵게 느껴지는 그러한 내용입니다
여러분들한테 부탁하고 싶은 것은 이게 처음 한두 번 해봐서 는요 전혀
감도 오지 않고 이걸 어떻게 생각해
이런 생각이 들지만 여러번 반복을 하다보면 은 나름대로 자기만의 눈이
그저 그 인수분해 를 바라보는 눈이 생기면서 쉽게 인수 분해를 할 수가
있습니다 알겠죠
예 피아니스트가 피아노 치는 걸 보고 우아한 데 어떻게 저걸 처하지만
끝없는 연습을 하다보면 어느 순간 내가 피아니스트가 되어 인거 와
마찬가지 입니다 그저 수학은 절대 어려운 게 아니에요
#57 거 똑같습니다 여러분들한테 부탁하고 싶은 것은 꼭 무치 하게 많은
연습을 해 봐라 라는 거죠 그래서 이번시간에는 인수 분해 에서 등장하는
몇가지 유형 들과 그 유형 들의 대표적인 문제들을 각각 풀어 보면서 아
요럴때 요렇게 접근 하는구나 라는 정도 한번 맛배기로 보도록 하겠습니다
연습은 여러분의 몫이 알겠죠 예
자 보자 제일 처음에 인수 분해 에서 여러분이 해야 될 것은 바로 공통
인수로 웃 꺼라 라는 겁니다
예 이게 인수 분 의 기본이에요
그래서 똑같은 놈이 있다면 공통인 수가 있다면 괴로 묶어라 라는 거죠 자
예를 들면 어떤 문제야 x 의 제곱 플러스 x y
그다음 - gx - yg 이런 문제가 있다고 합시다
얘를 인수분해 하여라 그치
자 그랬더니 잘바 이거 벌써 눈에 보이는 사람도 있을 거야
여기는 누가 있냐 하면 x 와 x 가 똑같이 들어 있는걸 볼수가 있구요
혹은 이쪽이 누가 있어요 영이는 g 와 g 가 똑같이 들어있는 걸 볼
수가 있죠
그러면 봐 앞에 놈은 x 로 묶어 주면 엑스프레스 y 가 되는 거고요
그다음 뒤에 놈은 우리 - 지루한 번 묶어 줘 볼까
그러면 깔끔하게 x 파스 y 가 되는걸 볼 수가 있습니다
어 그러고 났더니 또 똑같은 놈이 보이더라 라는 거지 여기 바 x psy
가 여기에도 있고 여기에도 있네 그 정 큰 또 묶어 주는 거야 그럼
어떻게 x 플러스 y 로 묶어 주면 당연히 x - g 가 되겠죠
자파 아 이 놈과 이놈 a 고부 로만 표현이 됐네요
인수 분의 끝났다 라는 겁니다 됐죠 예
이겁니다 그래서 똑같은 놈이 보이면 뭐 해라 묶어라 라는 겁니다 자 잘바
이 문제를 또 어떻게 접근할 수도 있냐면 보세요
요걸 요렇게 한번 써볼까 x 의 제곱 빼기
g2x 라고 한번 적어보고 요 그다음 xy - yg 라고 한번 적어
봅시다
이렇게 적은 이유 알겠죠 잘 방 2 앞에는 여전히 x 와 x 가 똑같이
보이고요
뒤에는 이번에는 y 와 y 가 똑같이 보이네요
그러면 이 똑같은 문제를 자 처음엔 x 로 묶어 저서 x - g 로
만들고 그다음 플라스타 시 에 와인을 묶어 줄까요
y 로 묶어 저서 모르 만들수가 있어
x - g 로 만들 수가 있습니다
그러고 났더니 또 똑같은 몸이 보이더라 이 거지 x - g x - 팅
맞아요 따라서 x - 치로 묶어주면 결국 x 프라스 y 가 되더라 라는
얘기 입니다
자 아까 뭐 때 똑같이 x 파스 y
그 다음에 x - 튀게 곱으로 나타냈으나 이까 인수 분의 끝났다 라는
겁니다 됐죠
그래서 여러분들 인수 분 의 가장 기본적인 원칙은
똑같은 몸으로 묶어라 즉 공통 인수로 묶어 내라 이겁니다
반드시 기억하도록 하세요 가장 기본입니다 했죠
자 그 다음 쭉 올립시다 거냐 그 다음에 소위 말하는 이제 인수 분의
공식들을 쓰는 경우가 있어요
그럼 인수 분의 공식에서 여러분들이 가장 많이 만나게 되는 인수 분 의
공식 중에 하나가 소위 말하는 합 차 공식입니다
a 제곱 빼기 b 제곱은 a+b 한번은 + 한번은 - 자 여기서 일로
가는게 곱셈 공식 이었죠
당연히 여기서 이쪽으로 온 건 인수분해 공식의 됩니다
그렇죠 자 그런데 이렇게 눈에 보이게 주어지는 경우도 있어 뭐 예를 들면
25 x 의 제곱 - 9i 의 제곱은 어떻게 예수 분해가 될까요
나보고 물어 본다면 당연히 ox 전체 제곱 이고 - 여름은 3화에 전체
제곱 이니까
결과적으로 우리가 얻을 수 있는건 ox 플러스 3i 한번은 + 그다음
한번은 뭐 - 요렇게 우리가 일쑤 분해를 할 수가 있는 거죠 자 이
정도는 기본이다 입어야 눈에 보인다 이런 눈에 보인다
그지 자 그런데 밤 이런 문제와
x 의 제곱 빼기 이 와이즈 2 - y 에 재고 - g 제고 이렇게
나왔다고 치자 해봐야
자 이렇게 나오면 와 이건 또 보여야
아 선생님이 공통 인수로 묶어 라고 했어 그러면 바
이거 y 로 묻고 요 투구 놈 내 빌어도 2 문제가 풀릴까요
안될거 같애 그럼 지루 묻고 어
그래도 안될 거 같애 이건우 대체 뭐냐 이 와
공통 인수로 북구 려고 했는데 묻고 나면 벽에 부채 된거죠
이런데서 인수 분해 포기하게 됩니다
작은데 밤 이게 이제 해본 사람만 눈에 보이고 안 해본 사람은 눈에
안보이는 겁니다
잘 보세요 요 몸을 어떻게 바꿔 쓸 수가 있냐면 x 의 제곱 자 - 1
먹을 겁니다 바 와 이에 제곱 플러스 2 와인 g+ 지재 곱고
노래 보이나요 자 이거나 깨알같이 어서 또 인수분해 공식 이 사용됩니다
요놈이 찌 y 제곱 클라스 2 와이즈 플러스 치 제곱은 당연히 y 플러스
치 전체 제곱입니다
요놈도 인수분해 져 맞죠
자 이래 놓고 보니까 보인다 입어야 제고 - 제고 따라서 뭐가 돼요
한번은 +
요렇게 되고요 한번은 - 니까
원래는 x 의 - 와인 플러스 c 가 돼야 되는데 요 - 가 풀리면서
결과적으론 - 와인 - 치 요렇게 되는거겠죠
그 정 그래서 여러분들 봐 요런 형태의 눈에 이 그 셔야 됩니다 이런게
처음에는 눈에 안보여도 한번 해보고 나면 어떻게 돼 아요 걸 요런식으로
만 요렇게 다시 묶어주고 정리해주면 요런 꼬리 되는구나
나는 걸을 따 알고 있어야 된다는 거죠
이렇게 보는 눈이 중요한 겁니다
이것은 어느 날 갑자기 얻어지는 게 아니 않아 여러 번 이런 유형의
문제를 풀어봄으로써 여러분이 어느 순간 여러분도 모르는 사이에
부지불식간에 갖게 되는 능력 중의 하나입니다
방법은 뭐야 방법은 끝없는 연습이 줘 끝없는 이었어요
됐죠 자 그다음 방 세 번째 소위 말하는 2차 식의 인수분해 요
2차 식의 인수분해 인데 아마 합 차 공식과 더불어 애가 가장 많이
여러분이 앞으로 쓰게될 인수 불의 공식입니다
그쵸 그 인수 분 의 공식 중에 뭘 가장 많이 쓰는 야 잘 바 x 플러스
x 의 제곱 플러스 a+ px 플러스 a b 라는 놈이
x 플러스 게이 x 플러스 p
요렇게 인수 분해 가 되는 거지 이게 외우기는 쉬운데
실제로 이 놈을 문제에서 만났을 때 하는 것은 쉬운건 아닙니다
그러나 다행스럽게도 이미 우리가
중학교 때 이런 인수분해 를 다로 봤었죠
그래서 아마 대부분의 학생들이 이런 인수분해 익숙해져 있을 겁니다
그렇게 믿습니다 자파 예를 들면 x 의 제곱 - x - 유근이 꼴 뭐야
인수부 네가 어떻게 될 거냐 라는 겁니다
그럼 방 요게 이러한 형 테니까 우리는 요 a 하고 b
즉 2개를 곱해서 - 6이 되는 몸을 찾아야 되고요
그다음 둘을 더 했을 때 - 일대는 놈을 찾아야 게 즉 파 a 프라 ab
는 - 6이 되는 놓은 a+ 필은 - 일이 되는 두 놈을 찾아야 됩니다
그러면 꼭 6 이르려면 이아고 3 인거 같은데
둘이 더해서 - 일이 돼야 되고 둘은 곱해서 - 6 이 돼야 된다면 이
하고 누구를 하면 됨 과 - 3 을 봐 주면 되겠네 끝났죠
따라서 얘는 어떻게 되냐면 x 플러스 2 와 x - 3으로 인수 분해 가
된다 라는 겁니다
사실은 우리가 이러한 과정을 거쳐야 되지만
우리가 어떻게 배워서 알고 있냐 하면 대개 a 거죠
이 앞에는 1 곱하기 일이 있는거구요 여기는 2 곱하기 3 이 있다고
보고 크로스 를 못 하는데 그 곱한 결과를 요 쪽에 다이 하 고 3으로
써주고
요 둘의 덧셈 2 에
쑤 항의 개수와 똑같아야 된 거야 그러면 어느 쪽에 - 부터 에 대해
바로 이쪽의 - 가 붙어야 이렇게 2를 더하면 - 1 된걸 볼 수가 있는
거죠
2 - 일은 x 의 계수 및 아 그 정 예
따라서 x 파스 이와 x - 3으로 인수분해 된다라는 것을 우리가 알 수
있다는 거죠
되죠 이거 뭐 여러분들 많이 해본 겁니다
그 다음 2차 식의 인수분해 해서 또 더 많이 등장하는 것은 바로 a
뭐예요
sac exo 비가 요조 a 씨 x 제곱 플러스 ad 프라스 bc 의 x
프랑스 빛 이라는 놈이 결국은 ax psp 와 씨 x 플러스 티로
인수분해 된다는 것
예 자 예를 들면 이런 겁니다 6 액스 의 제곱 빼기 ox - 6 은
어떻게 수분 해가 될까 라는 거에요
자 그럼 봅시다 요런거 바 6 이라는 것은 2 곱하기 3
그 적도 6 이라는 것은 2 곱하기 3 인데 여기서 딱 순서를 잘 맞춰야
됩니다
예를 들어 여기에 또 2 곱하기 3을 했어 그러면 요렇게 곱해 도 6
요렇게 고 패도 6인데 포를 어떻게 바꾼다고 하더라도 - 소를 만들어
내기는 어렵죠 어려운게 아니라 불가능하죠 그 정
따라서 요놈을 우리가 바꿨을 거야
요기가 3이고 요기가 이잉 거지 그러면 크로스로 곱하는 거야 그럼 얘는
9 가 되고 얘는 사가 되니까
어 요렇게 되면은 덧셈 2 - 5가 되요 그럼 어느 쪽에 이쪽의 - 가
붙으면 된다는 겁니다 자 따라서 이 경우에는 ex - 삶과 그 다음에 3
x 플러스 2
요렇게 인수분해 가 되는 것을 알수가 있습니다
됐죠 예 어렵지 않습니다 자 많은 학생들이 선생님 저는 이거 찾는거 못
하겠어요
이걸 어떻게 찾아요 어 아니 지금은 선생님이 233 이라고 했지만 6은
1 하고 6일 수도 있는 거 아닌가요
맞습니다 그럼 이건 어떻게 찾느냐 방법이 없어 왕도가 없어 뭐라고 어
연습 연습만이 이런 것들을 보게 하는 눈을 딱 뜨게 해주는 거야
해본 몸이 자라게 되어 있습니다 이건 어쩔 수 없습니다
ok 그래서 수학을 포기하기 전에 자기가 포기해도 부끄럽지 않을 만큼의
노력을 했느냐
그럼 노력을 했는데도 안 된다 정말 돼 양심에 비춰 노력을 했는데도 안
된다 그럼 수학 포기하세요
k 팝스타 나가야지 그러면 그 지 그렇지만 연습도 아내 보고선 수학을
포기하는 것은 정말 바보 같은 짓이다 라는 겁니다
알겠죠 자 하나 더 해볼까요 20,000
우리가 쪼끔 큰 수 큰 수가 등장하는 거 뭐 15 x 의 최고 그냥
플러스 8 x y 그지 - 12의 y 제곱 은 인수 분해 가 어떻게
될까요 라는 문제가 나왔다 고 칩시다 그럼 아 한번 해볼까 얘는 삼아 고
만들어 가는 거야 얘가 3 하고 51g 이라고 15일 지는 몰라요
그저 그 다음에는 30 인가 그러면 3 4
요렇게 한번 써볼까 그러면 요런 12 여러분 15
아무리 2 를 빼고 더해도 하는 만들 수가 없겠죠
그럼 아니란 거야 이런 시행착오를 거쳐야
그럼 유카 분인가 그러면 바 요기가 6
요기가 2 그러면 바 3 6 18
5 20 뭔가 될 거 같다 이 거지 자 그럼 바 크로스 크로스 곱하면
여기는 18
여기는 10 인데 2를 더해서 팔을 만들어야 되고
2를 곱해서 는 - 12 가 되어야 되니까 이쪽의 - 가 붙는다 라고
보시면 이렇게 됩니다
그럼 요 2를 더하면 8 된것 같죠 끝났다 이가
이건 신차보다 이 거지 한번에 찾아내는 것은 어찌보면 운 에 가깝다 와
그렇지만 그 운이 계속 다르게 만들려면 할수있는건 연습 밖에 없다 이거죠
따라서 얘는 어떻게 된다고 3 x - 2 와 그 다음에 ox 프라스
6으로 인수 불이 되는 것을 볼 수가 있습니다
됐죠
오늘 우리 인숙은 의 첫 번째 시간에 가장 인수 분 의 기본인 공통
인수로 묶어라 라는거 배웠고 요 두 번째 합 차 공식 상당히 시험에 자주
등장합니다
그런데 그 합 차 공식이 눈에 딱 보이게 주어지는 게 아니라 처음에
봤을때는 감 보여
그렇지만 그 보이는 보이게 그 보는 눈을 연습을 통해서 길러라 라고 말씀
드렸구요
역시 2차 식의 인수분해 우리 가장 많이 등장하는 두 가지인데 결국은 두
가지 반 이에요
위의 것도 결국은 모로 생각할 수가 있어
그죠 우리 요 개수가 일이 어떤 것도 그냥 이걸로 생각할 수가 있습니다
개수가 일이면 ad hoc 돋아 일이다 이렇게 생각하면 되니까
그래서 요 부분 그 다음 요렇게 우리가 인수분해 한다.는거
중학교때 배웠지만 다시한번 명심하시고 복습해 주시기 바래요
알겠죠