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수학중독 | 복소수의 사칙연산

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수학중독님의 중학교수학강의 청각장애인을 위한 자막
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지난 시간에 우리 복수 수에 대해서 알아봤으니 까
이번 시간에는 복소수 에 사칙연산 에 대해서 알아보도록 하겠습니다
우리가 편의상 그냥 두 복소수 를 지인은 a+ pi 라고 정의를 하고요
그 다음에 w 는 c 플러스 ti 라고 정의를 한 상태에서 우리가 얘네
들의 터 쎔 뺄셈 곱셈 나눗셈 에 대해서 한번 알아보도록 하겠습니다
자 첫번째 2 덧셈 부터 알아볼까요
부개 의 복소수 를 더하면 어떻게 될까 라는 건데 이건 결국 a+b
ifrs c 플러스 di 줘
자 이 때는 간단합니다 얘는 실수 분은 실수 붓기 리더 해주고요
그 다음에 허수 분은 허수 부부끼리 더해주면 된다 라는 것을 우리가 금방
알 수가 있죠
별거 없습니다 그래서 마치 아이 라는 놈을 또 다른 문자가 취급을 하면
되는 거야 무슨 얘기냐 하면 이게 지금 전부다 문제니까 무슨 얘기예요
그런데 예를 들어 a b c d 가 다 숫자 뭐 1 - 이의 다가
그 다음에 뭐 3+아이였다
이 두개를 더 한다. 라고 한다.면 그냥 문자도 동 유황 끼리 계산 해 줄
거랑 똑같다 라는 거지
즉 얘는 프라스 이가 되는거라 똑같다는 겁니다
그래서 어려울거 하나도 없다는 거죠
뺄셈 도 마찬가지 입니다 예를 들어 지혜서 w 를 빼준다 그러면 a+b
아이에서 시프 라스 di 를 빼 주는 건데
요렇게 과로 바쳐 지겠죠 결과적으로는 에 실수 분은 실수 부부끼리 빼주고
그 다음에 허수 분은 허수 9 끼리 빼준다 이렇게 생각하시면 됩니다
그쵸 그래서 예를 들어 보 여기서도 애가 뺄셈 2 됐다 라고 한번
해볼까요
요놈 에서 - 요 놈이다 라고 한다.면 결국은 얘도 실수 끼리 빼주고
그다음 허수 부 길이 빼 주는 거니까 이렇게 된다
너무나 간단하죠 그래서 우리가 알고 있는 덧셈 뺄셈 2
그냥 그대로 적용이 됩니다 밭이를 또 다른 문자 취급을 하게 되면
그렇다 라는 거죠
개쩜 어렵지 않습니다 자 그럼 바 곱셈의 대해서 우리가 알아볼까요
그러면 세번째 지혜의 다가 w 를 곱하면 어떻게 될까요 이건데
얘는 방 암 a+ bi 에다가 c 플러스 ti 를 곱하는 건데
얘도 똑같으나 이봐 전개 하듯이 하는데 잘 마
a 하고 씨가 곱해 지구요 이렇게 곱하면 플라스 ada 의 아이가 됩니다
지금 ad 는 그냥 숫자 고아 있는 문자다 이렇게 생각하시면 되는거예요
그 다음에는 플러스 bci 가 되구요
이렇게 곱하면 플러스 bdi 가 두번 곱해 줬으니까 제곱 된다 이렇게
보시면 되요 근데 여기서 이제 일반적으로 우리가 문자가 치국 을 하라고
했잖아 이 글
그놈과 다른게 뭐냐 하면 당연히 요부분 잇지요 부분 요아이 제곱 부분이
몰로 바뀐다 거야 정리에 의해서 요놈은 - 일이 된다 라는 것만 여러분이
신경써 주면 된다는 거지
그래서 보면 ac 요게 - 가 되니까 - bd 가 됩니다
이렇게 하는 이유는 실수 부부끼리 묶어 준 거야 지금 실수 들끼리 크지
그 다음에 허 수 아 2 허 수단이가 붙은 놈들 끼리 묶어주면 ad
플러스 bc 의 아이다 요렇게 된거죠
그래서 새로운 복소수 실수 부가 ac - 비리고 허수 가 adp spc
인 이러한 새로운 복소수 를 만들어낸다 1회 생각하심 되요
즉 곱셈 에서 여러분이 딱 중요하게 생각할 건 아예 제곱이 - 일이다
요 것만 딱 바꿔주면 된다는거 고건 맞춰 가시면 되요 그럼 하라
지금 덧셈 이든 곱셈 이든 우리가 알고 있는 상식 수준에서 연산이
이루어지는 것 볼 수가 있죠
따라서 우리가 어떤 생각을 할 수가 있냐 하면 아 입 옥수수의 덧셈 이나
곱셈의 대해서
교환 법칙 그저 그 다음에 결합 법칙 2 성립하게 있구나 라는 것을
예상할 수가 있다라는 겁니다 그렇죠
요 부분은 그냥 여러분들이 에 뭐 복소수 들을 그냥 1 정하세요 뭐 1
프랑스 2 아임 어 3 - 2
그저 5+ ui 모여 켜놓고 얘네들 사이에 교환이 덧셈 에서 되는지 곱셈
에서 되는지 결합 법칙 2 덧셈 에서 되는지 곱셈 에서 되는지 한번씩 해
보도록 하세요
이모 우리가 배웠던 그 뭐야 그 당시 게 덧셈 겁쟁이 랑 다를게 없기
때문에 거기에서 겨우 한 결합 법칙 이다 성리 팼다 라면 복소수 에서도
분 반드시 성립할 거라는 걸 우리가 예상할 수 있다는거 야
그리고 뭐 어떻게 보면 되게 중요한 얘기지만 우리가 문제를 푸는데 있어서
그렇게 중요한 얘기 아니기 때문에 여러분들이 실제로 되는거 구나 라는거
한번 해 보시면 될 것 같아요
됐죠 다만 여러분들이 이제 기억해야 될 게 뭐냐면 우리가 지난 시간에
켤레 복소수 가는 걸 배워 없단 말이야 그래 이 곱셈 에서 재미있는게
하나가 있어요 아
지애 다가 지에 발을 곱하면 어떻게 되느냐 라는 거야 그럼 우린 어떤
생각할 수가 있냐면 a 플러스 pi 에다가
a - pi 를 곱하는 거구나 라는 생각을 할 수가 있고
우리고 곱셈 공식 에서 합창 음식 하냐
덧셈 한번은 뺄셈 얘는 제 곡 - 자의 전체의 제곱이 됩니다
그런데 얘는 a 제법 - b 제곱 그 다음에 아 이제 곧 요렇게요 지수
법칙 2 줘 이렇게 쓸 수가 있단 말이야 그지
근데 아이의 제곱이 뭐라고 아 여기 또 강조해야 항상 요 아 이제 곳만
모르 바꿔주면 된다
- 일로 바꿔주면 된다 라는 거기 때문에 우리가 얻을 수 있는 이놈의
결과는 뭐가 되는거예요 결국 a 제곱 플라스크 b 제곱 이 된다 라는
겁니다
그저 예 요게 이제 켤레 복소수 에 성질인 데 나중에 다시 배우게 될
거지만 미리 얘기 하는 이유가 있습니다 우리가 나눗셈을 할 때 요놈이
필요하기 때문에 그래요 그래서 여러분들 기억해야 될 게 뭐냐면 어떤 복수
수 에다가 개의 켤레 복수 수를 고 파게 되면 그 결과는 뭐가 된다
보시다시피 실수가 된다라는 것을 기억하셔야 됩니다
오케 뭐 상당히 중요한 성질이 에요 됐죠
이것만 꼭 기억하도록 하세요 자 그럼 하하 왜 우리가 이런 얘기를 했느냐
바로
나눗셈 땜에 이런 얘기를 했다 라는 겁니다 자 예를 들면 마
w 분해 지라는 요런 복소수 에만 오셈 에 대해서 한 번 생각을 해보죠
거기에는 c 플러스 ti 분해 2
a+ pi 라는 분수처럼 우리가 생각을 할 수가 있을 텐데
자 이 때 우리 이제 그 배웠다고 태어나니까 분모의 유리화 즉 붐 목에
루트가 있으면 보기도 껄끄럽고 계산 도 깔 끌었기 때문에
부모에서 루트를 억수 해주자
즉 유리 화 그저 유리스 화를 해주자 라는 거죠
그 개념이 복수 수에도 있어요
그래서 깊 옥수수 해도 분모에 이 허 수단이가 들어가 있으면 보기
에도 껄끄럽게 꼭 에 산도 껄끄럽게 되니까
2분 뭐 에서 허 수당이 를 없애 주자 그걸 뭐라고 그러냐면 부모의 실수
하다 이렇게 얘기를 합니다
그 정 그럼 분모를 실수 할 수 있는 방법이 뭐냐
이걸 울었는데 우리 방금 전에 뭘 배웠냐 하면 예를 들어 봐
c 플러스 di 라는 복수 수 에다가 그놈의 켤레 복소수 를 곱해 주게
되면 그 결과가 c 제고 플라스틱 제곱 이라는 실수가 된다 라는 걸 배워
딴 말이야
맞아 그 칙 그래서 요 방법을 고대로 부모의 실수 하에 활용을 하는
겁니다
즉 여기에다가 분자 분모 에 똑같이 얼마를 곱해 주냐 하면 어 요 놈의
다가 c - 얼마 큰일 났네요 그저 예 똑같이 c - d i 를 곱해
주고
당연히 푼 잘도 c - d i 를 곱해 주자 라는 거죠
요게 바로 분모의 실수와 과정입니다
이거 마치 분노에 유리와 하는 거랑 똑같다 이와 방법까지 달라진게 하나도
없죠
그럼 우리가 볼 수 있는 바 요놈은 뭐가 된다고 c 제고 브라스 뒤 제법
이 되는걸 볼 수 있고요
위에는 그냥 우리가 알고 있는 뭐하는데
급 옥수수의 곱셈 하면 되요 그래서 ace - ad 에 아이 플라스 b
씨의 아이 그 담아 - bb 의 아이 제곱 인데 아이 제곱이 - 일이니까
플러스 빛 이렇게 되네요
따라서 예를 정리해 주면 우리가 풍 잡고 써볼까
ac 플러스 pd 가 되는 거죠
맞죠 이게 뭔데 어 실수 들끼리 묶음 것 알아
그저 그 다음 프라스 bc - ad 욕이 되는 겁니다
그쵸 그 다음에 밑에 요가 여기 아이가 빠졌네요
그 다음 밑에 요렇게 해서 c 제곱 플러스 디제 5 로 나누어 주는 거죠
요놈이 바로 복수 수의 나눗셈 이 됩니다
이거 다시 써주면 결국 c 제곱 플러스 d 제곱 구내의 ac 플러스 bd
가 되는거구요 플러스 c 제거 플러스 d 제거 푼의 bc - ade
아이다 이렇게 써 줄 수가 있는 거지
이렇게 우리가 굳이 써 준 이유는 실수 부와 허수 불을 따로 분리해서
우리가 보자 라는 개념입니다
됐죠 그래서 여러분이 복소수 에 나눗셈 에서는
복소수 에 실수와 만 할 수 있으면 좀 문제는 간단하게 해결이 됩니다
우리 아주 쉬운 예 1 볼까요 예를 들면 3+아이 분의 1 - 2 할
뭐 이런거 봅시다
나눗셈 잊어 복소수 1 - 이를 산 팔 사이로 나는겁니다
자 그럼 봐 얘는 3+아이의 다가 또 3 - i 를 곱해 주고요
위에도 1 - 이의 다 가도 3 - i 를 곱해 주면 됩니다
그럼 얘는 9 플라스 16 되는거 알 수가 있죠 제곱 100 이제
법이니까
이거 분해 예약합니다 3 - 2 - 6 왕이 그 당 플라스 팔아 이제
법이니까
- 8 이렇게 되겠네요 그래서 정리해주면 25분의 - 5
다음 플러스 25분의 - 10 인가요 그래서 - 10
아이고 이렇게 쓸 수가 있으니까 정리하면 - 5분의 1 - 5분의 2
아이 다이 요렇게 우리가 깔끔하게 쓸 수가 있게 되는 겁니다 됐죠
음 여기까지가 바로 독소 수에 나눗셈 이었어요
그래서 여러분들
그 복소수 의 덧셈 뺄셈 곱셈 은 사실 우리가 알고 있는 뭐 다항식의
덧셈 뺄셈 곱셈과 다르게 없고 다만 아이 제곱을 - 일로 바꿔주는 것
곱셈 해서 그것만 주의하시면 되구요
나눗셈 에서는 마치 분모의 유리화 처럼 분모의 실수와 켤레 복소수 를
분자 뿜어 에다 곱해 주는 거죠
부모의 격에 복소수 를 예 그걸 통해서 나눗셈을 할 수 있다 아지만 알고
계시면 됩니다

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